Міра множини

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Неформально, міра — це функція, що відображає множини на невід'ємні дійсні числа, при цьому, надмножини відображаються на більші числа, ніж підмножини.

Міра множини — спільна назва різних типів узагальнень понять евклідової довжини, площі плоских фігур та -вимірного об'єму для загальніших просторів.

Якщо зворотне не вказане явно, то зазвичай йдеться про зліченно-адитивну міру.

Поняття міри виникло в теорії функції дійсної змінної, а звідти перейшло до теорії ймовірностей, теорії динамічних систем, функціонального аналізу та багато інших областей математики.

Визначення

[ред. | ред. код]

Теорія міри та інтеграла Лебега була розроблена на початку XX ст. у зв'язку з потребами аналізу та теорії функцій. Абстрактний варіант теорії є математичною основою ряду теоретичних і прикладних розділів сучасної математики.

Скінчено-адитивна міра

[ред. | ред. код]

Нехай задано простір з виділеним класом підмножин , замкненим щодо скінчених перетинів та об'єднань. Функція називається скінчено-адитивною мірою, якщо вона задовольняє наступним умовам:

  1. ;
  2. Якщо  — скінчене сімейство попарно неперетинних множин із , тобто , то

.

Альтернативне визначення

[ред. | ред. код]

Функція множини називається мірою, якщо:

  • область визначення функції є напівкільце множин.
  • значення
  •  — адитивна, тобто, для довільного скінченого розкладу ,
    буде виконуватись рівність

Система множин називається напівкільцем, якщо вона містить порожню множину, замкнена у відношенні до утворення перетинів, і якщо з приналежності до множини та випливає можливість представлення множини у вигляді об'єднання , де  — попарно неперетинаючі множини з , перша з яких є задана множина .

Злічено-адитивна міра

[ред. | ред. код]

Нехай задано простір з виділеною σ-алгеброю . Функція називається злічено-адитивною (або σ-адитивною) мірою, якщо вона задовольняє наступним вимогам:

  1. ;
  2. (σ-адитивність) Якщо  — злічене сімейство множин, що попарно не перетинаються з , тобто , то
.

Продовження міри

[ред. | ред. код]

Міра називається продовженням міри , якщо і для кожної виконується рівність:

При цьому, для кожної міри , заданої на деякому напівкільці існує єдине продовження , що має як область визначення кільце (тобто, мінімальне кільце над ).

Примітки

[ред. | ред. код]
  • Довільна злічено-адитивна міра є скінчено-адитивною, але не навпаки.
  • Якщо міра всього простору скінчена, тобто , то така міра називається скінченою. В протилежному випадку міра нескінчена.
  • На прямій та двовимірній площині існує нескінчена кількість продовжень міри Лебега з σ-алгебри, породжуваної відкритими підмножинами, на множину всіх множин, що зберігає скінчену адитивність міри. Для жодного з нетривіальних евклідових просторів не існує будь-якого злічено-адитивного розширення міри Лебега на множину всіх його підмножин.

Приклади

[ред. | ред. код]

Див. також

[ред. | ред. код]

Джерела

[ред. | ред. код]
  • Вулих Б. З. (1973). Краткий курс теории функций вещественной переменной (введение в теорию интеграла). М.: Наука. с. 352.
  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)