Користувач:Knu mechmat/Теорема Тьопліца

Теоре́ма Тьо́пліца — одна із важливих теорем математичного аналізу, названа на честь відомого математика Отто Тьопліца.

Формулювання теореми

Шаблон:Plain theorem Нехай числа {c_nk | 1 ≤ k ≤ n, n ≥ 1} ⊂ R задовольняють умови:

1. ∀ k ∈ N: c_nk → 0, n → ∞;
2. $\sum _{k=1}^{n}c_{nk}\rightarrow 1,n\rightarrow \infty ;$
3. ∃ C > 0 ∀ n ≥ 1:

$\sum _{k=1}^{n}|c_{nk}|\leq C.$

Тоді для будь-якої збіжної послідовності чисел {a_n | n ≥ 1} послідовність

$\left\{b_{n}=\sum _{k=1}^{n}c_{nk}a_{k}|n\geq \;1\right\}$

також збігається і

$\lim _{n\to \infty }b_{n}=\lim _{n\to \infty }a_{n}.$

Шаблон:Remark Умови 1-3 теореми Тьопліца необхідні і достатні.

{{knu mechmat}} → Нехай a_n → a, n → ∞, спробуємо довести, що

${\frac {a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}}{n}}\rightarrow a,n\rightarrow \infty$

Перевіримо виконання умов теореми Тьопліца:

$\left\{b_{n}=\sum _{k=1}^{n}c_{nk}a_{k}|n\geq \;1\right\},$

звідси випливає, що

$\left\{b_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}|n\geq \;1\right\},$

отже, c_nk = 1/n. Візьмемо першу властивість. Доведемо, що c_nk → 0, n → ∞, тобто

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0$

∀ ε > 0|1/n-0| = 1/n < ε ⇔ n > 1/ε. Тому ∀ ε > 0 ∃ N := [1/ε] +1 ∈ R і ∀ n ≥ N : |1/n - 0| < ε. Отже, за означенням

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0.$

Перевіримо другу властивість. Тут маємо

$\sum _{k=1}^{n}c_{nk}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{n}}={\begin{matrix}\underbrace {\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}+\ldots +{\frac {1}{n}}\right)} \\n\end{matrix}}={\frac {n}{n}}=1.$

Отже, n → ∞, звідси випливає, що ∀ n

$\sum _{k=1}^{n}c_{nk}=1.$

Подивимось, чи виконується третя властивість теореми.

$\sum _{k=1}^{n}|c_{nk}|=\sum _{k=1}^{n}\left|{\frac {1}{n}}\right\vert =\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{n}}={\begin{matrix}\underbrace {\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}+\ldots +{\frac {1}{n}}\right)} \\n\end{matrix}}={\frac {n}{n}}=1\leq \;1$

Отже,

$\sum _{k=1}^{n}|c_{nk}|\leq \;1,$

тобто C = 1. Як бачимо, виконуються всі умови теореми Тьопліца і

${\frac {a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}}{n}}\rightarrow a,n\rightarrow \infty .$

Доведення

Для послідовності {a_n = a| n ≥ 1}, a ∈ R, маємо

$b_{n}=a\sum _{k=1}^{n}c_{nk}\rightarrow a,n\rightarrow \infty ,$

за умови 2. Тому достатньо розглянути випадок, коли a_n → 0, n → ∞. Наступна нерівність (позначимо її (∗))

$|b_{n}-0|=|b_{n}|=\left|\sum _{k=1}^{n}c_{nk}a_{k}\right\vert \leq \;\sum _{k=1}^{m-1}|c_{nk}|\cdot |a_{k}|+\sum _{k=m}^{n}|c_{nk}|\cdot |a_{k}|$

справедлива для кожного m, 1 < m ≤ n. Нехай тепер ε > 0 задано. За означенням границі послідовності, ∃ N₁ ∈ N ∀ n ≥ N₁  : |a_n| < ε/2C, крім того, ми знаємо, що збіжна послідовність обмежена. ∃ D > 0 ∀ n ≥ 1  : |a_n| ≤ D. Нехай далі в нерівності (∗) n ≥ N₁ і m = N₁. За умовою 1 даної теореми ∀ k, 1 ≤ k ≤ N₁ - 1: c_nk → 0, n → ∞, дане твердження рівносильне |c_nk| → 0, n → ∞, звідси випливає

$\sum _{k=1}^{N_{1}-1}|c_{nk}|\rightarrow 0,n\rightarrow \infty .$

Отже, ∃ N₂ ∈ N ∀ n ≥ N₂:

$\sum _{k=1}^{N_{1}-1}|c_{nk}|<{\frac {\varepsilon }{2D}}.$

Тоді для номерів

$n\geq \;N:=\max \ \left\{{N_{1},N_{2}}\right\}\quad$

із нерівності (∗) враховуючи три останні нерівності і умову 3 даної теореми отримаємо

$|b_{n}-0|\leq \;D\sum _{k=1}^{N_{1}-1}|c_{nk}|+{\frac {\varepsilon }{2C}}\sum _{k=N_{1}}^{n}|c_{nk}|<D{\frac {\varepsilon }{2D}}+{\frac {\varepsilon }{2C}}\sum _{k=1}^{n}|c_{nk}|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2C}}C=\varepsilon .$

Історія

Отто Тьопліц (1881-1940) — німецький математик, велику частину робіт посвятив функціональному аналізу. Зробив важливі відкриття у математиці, написав певну кількість корисних теорем, зокрема теорему про регулярне перетворення послідовності.

Див. також

• Границя функції в точці
• Границя числової послідовності

Література

• Дороговцев А. Я. Математический анализ. — К. : Факт, 2004. — 560с.