Ланцюгова гомотопія

Ланцюгова гомотопія — варіація поняття «гомотопія» в алгебраїчній топології і гомологічній алгебрі.

Означення

Нехай $X$ і $Y$ — ланцюгові комплекси модулів (тобто множина модулів $X_{k},\;Y_{k}$ і модульних гомоморфізмів $d_{X}^{k}\colon X_{k}\to X_{k-1},\;d_{Y}^{k}\colon Y_{k}\to Y_{k-1}$), $f$ і $g$ — ланцюгові відображення комплексу $X$ в комплекс $Y$ (тобто такі гомоморфізми $f_{k}$ що $d_{Y}^{k}f_{k}=f_{k-1}d_{X}^{k}$).

Ланцюговою гомотопією між відображеннями $f$ і $g$ називається множина гомоморфізмів $D_{k}\colon X_{k}\to Y_{k+1}$, для яких справедливими є рівності

$D_{k-1}d_{X}^{k}+d_{Y}^{k+1}D_{k}=f_{k}-g_{k}.$

Аналогічно можна ввести поняття ланцюгової гомотопії для коланцюгових комплексів $X$ і $Y.$ Якщо $f$ і $g$ — коланцюгові відображення комплексу $X$ в комплекс $Y$ (тобто такі гомоморфізми $f_{k}$ що $d_{Y}^{k}f_{k}=f_{k+1}d_{X}^{k}$).

Ланцюговою гомотопією між відображеннями $f$ і $g$ називається множина гомоморфізмів $D_{k}\colon X_{k}\to Y_{k-1}$, для яких справедливими є рівності

$D_{k+1}d_{X}^{k}+d_{Y}^{k-1}D_{k}=f_{k}-g_{k}.$

Діаграма для випадку коланцюгових комплексів зображена нижче:

Властивості

• Відношення ланцюгової гомотопії є відношенням еквівалентності на множині ланцюгових відображень (і також на множині коланцюгових відображень). Дійсно відображення $D_{k}=0$ є ланцюговою гомотопією, що забезпечує рефлексивність. Якщо відображення $D_{k}$ є ланцюговою гомотопією між ланцюговими відображеннями $f$ і $g$, то $-D_{k}$ є ланцюговою гомотопією між $g$ і $f$, що доводить симетричність відношення. Якщо $D_{k}$ є ланцюговою гомотопією між ланцюговими відображеннями $f$ і $g$, а $E_{k}$ є ланцюговою гомотопією між ланцюговими відображеннями $g$ і $h$, то $D_{k}+E_{k}$ є ланцюговою гомотопією між відображеннями $f$ і $h.$ Тобто відношення є також транзитивним і, як наслідок, відношенням еквівалентності. Клас еквівалентності ланцюгового відображення $f$ позначають $[f]$, еквівалентність відображеннь $f$ і $g$ позначається як $f\simeq g.$
• Якщо $X$, $Y$ і $Z$ — ланцюгові комплекси і $f_{1},g_{1}:X\to Y,\;f_{2},g_{2}:Y\to Z$ — ланцюгові відображення, такі що $f_{1}\simeq g_{1},\,f_{2}\simeq g_{2},$ то також $f_{2}\circ f_{1}\simeq g_{2}\circ g_{1}.$ Відповідно можна ввести добуток на класах ланцюгової гомотопії $[g]\circ [f]=[g\circ f].$ Якщо для ланцюгового відображення $f:X\to Y$ існує таке відображення $f':Y\to X,$ що $f'\circ f\simeq \operatorname {Id} _{X}$ і $f\circ f'\simeq \operatorname {Id} _{Y}$ то ланцюгові комплекси називаються гомотопно еквівалентними.

• Якщо відображення $f$ і $g$ є ланцюгово гомотопними, то індуковані відображення на гомологічних групах $H_{k}(X)\to H_{k}(Y)$ є рівними (де $H_{k}(X)=\mathrm {Ker} \,d_{X}^{k}/\mathrm {Im} \,d_{X}^{k+1}$). Справді, нехай $c\in X_{k}$ — цикл, тобто елемент з $\mathrm {Ker} \,d_{X}^{k}$. Тоді $d_{X}^{k}(c)=0$. Так як $f$ і $g$ є ланцюгово гомотопними, то

  $f_{k}(c)-g_{k}(c)=D_{k-1}d_{X}^{k}(c)+d_{Y}^{k+1}D_{k}(c)=d_{Y}^{k+1}D_{k}(c)$,

Тобто відрізняються на границю (елемент $\mathrm {Im} \,d_{Y}^{k+1}$).

• Для більшості теорій гомологій гомотопні неперервні відображення топологічних просторів $f,g\colon X\to Y$ індукують ланцюгово гомотопні відображення комплексів $C(X)\to C(Y)$ і, по доведеному, однакові відображення груп гомологій $H(X)\to H(Y)$ (виконується аксіома гомотопічної інваріантності).

Див. також

• Ланцюговий комплекс

Література

• Вик Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — Москва: МЦНМО, 2005 (рос.)
• Гельфанд С. И., Манин Ю. И. Методы гомологической алгебры. Введение в когомологии и производные категории. Том 1. — Москва: Наука, 1989 (рос.)
• Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — Москва: Мир, 1976 (рос.)
• Маклейн С. Гомология. — Москва: Мир, 1966 (рос.)
• Спеньер Э. Алгебраическая топология. — Москва: Мир, 1971 (рос.)