Симетричне відношення

Властивості бінарних відношень:
$\forall a,b,c\;\in {X}:$

рефлексивність $(aRa)\!$
антирефлексивність $\lnot (aRa)\!$

симетричність $aRb\Rightarrow bRa\!$
асиметричність $aRb\;\Rightarrow \lnot (bRa)$

антисиметричність $aRb\wedge bRa\Rightarrow a=b$

транзитивність $aRb\wedge bRc\Rightarrow aRc$
антитранзитивність $aRb\wedge bRc\Rightarrow \lnot (aRc)$

повнота $aRb\vee bRa\!$

Бінарне відношення R на множині називається симетричним, якщо для кожної пари елементів множини (a,b ) виконання відношення (aRb) спричиняє виконання відношення (bRa ).

В математиці бінарне відношення R на множині X є симетричним, якщо для будь-яких a та b з X з того, що a знаходиться у відношенні з b, випливає, що b знаходиться у відношенні з a.

Формально:

$\forall a,b\in X,\ aRb\Rightarrow \;bRa$

Приклади

Відношення "бути зарученим" є симетричним відношенням, а відношення "менше" - ні.

Рівність множини цілих дійсних  чисел

Звичайна рівність «=» на множині цілих дійсних чисел є симетричною, якщо з a = b випливає b = a. Воно також є відношенням еквівалентності. Не рівне співвідношення на множині цілих чисел при цьому не є відношенням еквівалентності, хоча й так само є симетричним, тому що з a ≠ b випливає b ≠ a.

Подібність трикутників 

Якщо трикутник ABC подібний до трикутника DEF, то трикутник DEF подібний до трикутника ABC. Відношення подоби трикутників є симетричним.Воно також є відношенням еквівалентності.

Рівність по модулю n

На множині цілих чисел задамо відношення "рівність по модулю n" у такий спосіб: два числа рівні по модулю n, якщо їхні залишки при діленні на n рівні. Наприклад, по модулю 5 рівні числа 2, 7, 12 і т.д. Це співвідношення є симетричним. Воно також є відношенням еквівалентності.

Властивості  зворотнього відношення

Відношення R на множині М називається симетричним, якщо це відношення з кожною парою (х,y) містить пари (y,х). Матриця такого відношення буде симетрична щодо головної діагоналі. Приклад: ‘=’,’≠’. Не є комутативним: ‘<=’,’>=’. Відношення симетрично тоді й тільки тоді, коли воно збігається зі своїм зворотнім відношенням: $R^{-1}$

Властивості

Симетричність не є оберненою до антисиметричності.

Існують відношення, які одночасно є симетричними та антисиметричними: "дорівнює" (" $=\!$ ").

Існують відношення які не є ані симетричними, ані антисиметричними:

Існують відношення, які є симетричними, але не антисиметричними: відношення подібності (конгруенція).

Існують відношення, які не є симетричними, але антисиметричні: "менше або дорівнює" (" $\leq \!$ ").

Симетричне відношення, яке є також транзитивним та рефлексивним називається відношенням еквівалентності.

Джерела

• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)

• Хаусдорф Ф. Теория множеств. — Москва ; Ленинград : ОНТИ, 1937. — 304 с. — ISBN 978-5-382-00127-2.(рос.)