Ланцюго́вий дріб (або неперервний дріб ) — це математичний вираз виду
[
a
0
;
a
1
,
a
2
,
a
3
,
⋯
]
=
a
0
+
1
a
1
+
1
a
2
+
1
a
3
+
…
{\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ]=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+\ldots }}}}}}\;}
де a 0 є ціле число , а всі інші a n натуральними числами . Узагальненими ланцюговими дробами називають вирази виду:
a
0
+
b
1
a
1
+
b
2
a
2
+
b
3
a
3
+
…
{\displaystyle a_{0}+{\cfrac {b_{1}}{a_{1}+{\cfrac {b_{2}}{a_{2}+{\frac {b_{3}}{a_{3}+\dots }}}}}}}
Будь-яке дійсне число може бути представлене ланцюговим дробом. Число представляється скінченним ланцюговим дробом тоді й лише тоді , коли воно раціональне .
Будь-яке дійсне число
x
{\displaystyle x}
[
a
0
;
a
1
,
a
2
,
a
3
,
⋯
]
{\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ]}
a
0
=
⌊
x
⌋
,
x
0
=
x
−
a
0
,
{\displaystyle a_{0}=\lfloor x\rfloor ,x_{0}=x-a_{0},}
a
1
=
⌊
1
x
0
⌋
,
x
1
=
1
x
0
−
a
1
,
{\displaystyle a_{1}=\left\lfloor {\frac {1}{x_{0}}}\right\rfloor ,x_{1}={\frac {1}{x_{0}}}-a_{1},}
…
{\displaystyle \dots }
a
n
=
⌊
1
x
n
−
1
⌋
,
x
n
=
1
x
n
−
1
−
a
n
,
{\displaystyle a_{n}=\left\lfloor {\frac {1}{x_{n-1}}}\right\rfloor ,x_{n}={\frac {1}{x_{n-1}}}-a_{n},}
…
{\displaystyle \dots }
де
⌊
x
⌋
{\displaystyle \lfloor x\rfloor }
x
{\displaystyle x}
Для раціонального числа
x
{\displaystyle x}
x
n
{\displaystyle x_{n}}
n . У цьому випадку
x
{\displaystyle x}
x
=
[
a
0
;
a
1
,
⋯
,
a
n
]
{\displaystyle x=[a_{0};a_{1},\cdots ,a_{n}]}
Для ірраціонального
x
{\displaystyle x}
x
n
{\displaystyle x_{n}}
Приклад обчислення ланцюгового дробу для числа 3,245 подано в таблиці.
Обчислення ланцюгового дробу для числа 3,245
3
{\displaystyle 3\,}
3.245
(
3
49
200
)
−
3
{\displaystyle 3.245\ \left(3{\tfrac {49}{200}}\right)-3\,}
=
0.245
(
49
200
)
{\displaystyle =0.245\ \left({\tfrac {49}{200}}\right)\,}
1
/
0.245
(
200
49
)
{\displaystyle 1/0.245\ \left({\tfrac {200}{49}}\right)\,}
=
4.082
(
4
4
49
)
{\displaystyle =4.082\ \left(4{\tfrac {4}{49}}\right)\,}
4
{\displaystyle 4\,}
4.082
(
4
4
49
)
−
4
{\displaystyle 4.082\ \left(4{\tfrac {4}{49}}\right)-4\,}
=
0.082
(
4
49
)
{\displaystyle =0.082\ \left({\tfrac {4}{49}}\right)\,}
1
/
0.082
(
49
4
)
{\displaystyle 1/0.082\ \left({\tfrac {49}{4}}\right)\,}
=
12.250
(
12
1
4
)
{\displaystyle =12.250\ \left(12{\tfrac {1}{4}}\right)\,}
12
{\displaystyle 12\,}
12.250
(
12
1
4
)
−
12
{\displaystyle 12.250\ \left(12{\tfrac {1}{4}}\right)-12\,}
=
0.250
(
1
4
)
{\displaystyle =0.250\ \left({\tfrac {1}{4}}\right)\,}
1
/
0.250
(
4
1
)
{\displaystyle 1/0.250\ \left({\tfrac {4}{1}}\right)\,}
=
4.000
{\displaystyle =4.000\,}
4
{\displaystyle 4\,}
4.000
−
4
{\displaystyle 4.000-4\,}
=
0.000
{\displaystyle =0.000\,}
STOP
ланцюговий дріб для числа 3,245 рівний [3; 4, 12, 4]
3.245
=
3
+
1
4
+
1
12
+
1
4
{\displaystyle 3.245=3+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{12+{\cfrac {1}{4}}}}}}}
π
=
[
3
;
7
,
15
,
1
,
292
,
1
,
1
,
1
,
2
,
1
,
3
,
1
,
14
,
2
,
1
,
1
,
2
,
2
,
2
,
2
,
1
,
84
,
⋯
]
{\displaystyle \pi =[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,\cdots ]}
якщо, проте, використовувати узагальнені ланцюгові дроби то отримаємо певні закономірності:
π
=
3
+
1
2
6
+
3
2
6
+
5
2
6
+
7
2
6
+
9
2
6
+
11
2
6
+
13
2
6
+
15
2
6
+
⋱
=
4
1
+
1
2
3
+
2
2
5
+
3
2
7
+
4
2
9
+
5
2
11
+
6
2
13
+
7
2
15
+
⋱
{\displaystyle \pi =3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+{\cfrac {7^{2}}{6+{\cfrac {9^{2}}{6+{\cfrac {11^{2}}{6+{\cfrac {13^{2}}{6+{\cfrac {15^{2}}{6+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}\ ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+{\cfrac {4^{2}}{9+{\cfrac {5^{2}}{11+{\cfrac {6^{2}}{13+{\cfrac {7^{2}}{15+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}
e
=
exp
(
1
)
=
[
2
;
1
,
2
,
1
,
1
,
4
,
1
,
1
,
6
,
1
,
1
,
8
,
1
,
1
,
10
,
1
,
1
,
12
,
1
,
1
,
…
]
.
{\displaystyle e=\exp(1)=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,1,1,\dots ]\,\!.}
Якщо n ціле число більше одиниці,
exp
(
1
/
n
)
=
[
1
;
n
−
1
,
1
,
1
,
3
n
−
1
,
1
,
1
,
5
n
−
1
,
1
,
1
,
7
n
−
1
,
1
,
1
,
…
]
.
{\displaystyle \exp(1/n)=[1;n-1,1,1,3n-1,1,1,5n-1,1,1,7n-1,1,1,\dots ]\,\!.}
Якщо також n парне:
exp
(
2
/
n
)
=
[
1
;
(
n
−
1
)
/
2
,
6
n
,
(
5
n
−
1
)
/
2
,
1
,
1
,
…
,
3
n
k
+
(
n
−
1
)
/
2
,
6
n
(
2
k
+
1
)
,
3
n
k
+
(
5
n
−
1
)
/
2
,
1
,
1
,
…
]
{\displaystyle \exp(2/n)=[1;(n-1)/2,6n,(5n-1)/2,1,1,\dots ,3nk+(n-1)/2,6n(2k+1),3nk+(5n-1)/2,1,1,\dots ]\,\!}
при n = 1:
e
2
=
exp
(
2
)
=
[
7
;
2
,
1
,
1
,
3
,
18
,
5
,
1
,
1
,
6
,
30
,
8
,
1
,
1
,
9
,
42
,
11
,
1
,
1
,
…
,
3
k
,
12
k
+
6
,
3
k
+
2
,
1
,
1
,
…
]
.
{\displaystyle e^{2}=\exp(2)=[7;2,1,1,3,18,5,1,1,6,30,8,1,1,9,42,11,1,1,\dots ,3k,12k+6,3k+2,1,1,\dots ]\,\!.}
tanh
(
1
/
n
)
=
[
0
;
n
,
3
n
,
5
n
,
7
n
,
9
n
,
11
n
,
13
n
,
15
n
,
17
n
,
19
n
,
…
]
{\displaystyle \tanh(1/n)=[0;n,3n,5n,7n,9n,11n,13n,15n,17n,19n,\dots ]\,\!}
якщо n додатне число; також
tan
(
1
)
=
[
1
;
1
,
1
,
3
,
1
,
5
,
1
,
7
,
1
,
9
,
1
,
11
,
1
,
13
,
1
,
15
,
1
,
…
]
{\displaystyle \tan(1)=[1;1,1,3,1,5,1,7,1,9,1,11,1,13,1,15,1,\dots ]\,\!}
якщо n > 1,
tan
(
1
/
n
)
=
[
0
;
n
−
1
,
1
,
3
n
−
2
,
1
,
5
n
−
2
,
1
,
7
n
−
2
,
1
,
…
]
.
{\displaystyle \tan(1/n)=[0;n-1,1,3n-2,1,5n-2,1,7n-2,1,\dots ]\,\!.}
Будь-яке раціональне число може бути представлене в виді скінченного ланцюгового дробу двома способами, більш довгий з яких завжди закінчується одиницею, а коротший відрізняється від нього тим, що останньої одиниці немає, а елемент перед одиницею на 1 більший. Наприклад:
9
/
4
=
[
2
;
3
,
1
]
=
[
2
;
4
]
{\displaystyle 9/4=[2;3,1]=[2;4]\;}
Теорема Лагранжа : Число можна подати у вигляді нескінченного періодичного лінійного дробу тоді й лише тоді коли воно є ірраціональним розв'язком квадратного рівняння з цілими коефіцієнтами.Наприклад:
2
=
[
1
;
2
,
2
,
2
,
2
,
…
]
{\displaystyle {\sqrt {2}}=[1;2,2,2,2,\dots ]}
золотий поділ
ϕ
=
[
1
;
1
,
1
,
1
,
…
]
{\displaystyle \phi =[1;1,1,1,\dots ]}
Для інших — не квадратичних — алгебраїчних чисел характер розкладу не відомий.
Для майже всіх дійсних чисел x середнє геометричне коефіцієнтів розкладу числа в ланцюговий дріб рівний константі Хінчіна (K ≈ 2,6854520010…) n -м наближеним дробом для ланцюгового дробу
x
=
[
a
0
;
a
1
,
a
2
,
a
3
,
⋯
]
{\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ]}
[
a
0
;
a
1
,
⋯
,
a
n
]
{\displaystyle [a_{0};a_{1},\cdots ,a_{n}]}
p
n
q
n
{\displaystyle {\frac {p_{n}}{q_{n}}}}
p
−
1
=
1
,
p
0
=
a
0
,
p
n
=
a
n
p
n
−
1
+
p
n
−
2
;
{\displaystyle p_{-1}=1,\quad p_{0}=a_{0},\quad p_{n}=a_{n}p_{n-1}+p_{n-2};}
q
−
1
=
0
,
q
0
=
1
,
q
n
=
a
n
q
n
−
1
+
q
n
−
2
.
{\displaystyle q_{-1}=0,\quad q_{0}=1,\quad q_{n}=a_{n}q_{n-1}+q_{n-2}.}
p
n
q
n
−
1
−
q
n
p
n
−
1
=
(
−
1
)
n
−
1
,
{\displaystyle p_{n}q_{n-1}-q_{n}p_{n-1}=(-1)^{n-1},}
|
x
−
p
n
q
n
|
<
1
q
n
2
.
{\displaystyle \left|x-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|<{\frac {1}{q_{n}^{2}}}.}
Звідси випливає наступне твердження:
наближений дріб
p
n
q
n
{\displaystyle {\frac {p_{n}}{q_{n}}}}
x
{\displaystyle x}
знаменник яких не перевищує
q
n
{\displaystyle q_{n}}
при розробці сонячного календаря необхідно знайти раціональне наближення для числа 365,2421988… За допомогою ланцюгових дробів одержується послідовність:
1
4
;
7
29
;
8
33
;
31
128
;
132
545
⋯
{\displaystyle {\frac {1}{4}};{\frac {7}{29}};{\frac {8}{33}};{\frac {31}{128}};{\frac {132}{545}}\cdots }
Перший з цих дробів є основою юліанського календаря.
Дрозд Ю. А. (1997). Теорія алгебричних чисел (PDF) . Київ : РВЦ “Київський університет„. с. 82. ISBN 966-594-019-8 (укр.) В. И. Арнольд . Цепные дроби . — М. : МЦНМО, 2000. — Т. 14. — 40 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»)А. А. Бухштаб . Теория чисел . — Просвещение, 1966. — 384 с.И. М. Виноградов . Основы теории чисел . — Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1952. — 180 с.С. Н. Гладковский . Анализ условно-периодических цепных дробей, ч. 1 . — 2009. — 138 с.И. Я. Депман . История арифметики. Пособие для учителей . — Просвещение, 1965. — С. 253—254.Г. Дэвенпорт . Высшая Арифметика . — М. : Наука, 1965.С. В. Сизый . Лекции по теории чисел . — Екатеринбург : Уральский государственный университет им. А. М. Горького, 1999.А. Я. Хинчин . Цепные дроби . — М. : ГИФМЛ, 1960.Claude Brezinski . History of continued fractions and Padé approximants [Архівовано 22 червня 2019 у Wayback Machine .] . Berlin: Springer-Verlag; 1991. — VIII + 551 pages. / Chapter 4 [Архівовано 22 червня 2019 у Wayback Machine .] . Golden Age. Pages 97-140.G. Blanch . Numerical Evaluation of Continued Fractions / SIAM Review, Vol. 6, No. 4, Oct. 1964, pp. 383—421J. Widž . From the History of Continued Fractions [Архівовано 22 червня 2019 у Wayback Machine .] // WDS'09 Proceedings of Contributed Papers, Part I, 176—181, 2009
Ділення Дріб
Чисельник / Знаменник
![{\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ]=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+\ldots }}}}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85adbab319018096abb6e6a3511c86c5fdca8c24)
![{\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/590c3d7eee7ce5e8a8bae57ed202c8e87d994191)
![{\displaystyle x=[a_{0};a_{1},\cdots ,a_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b51526c0ba768ad3a890dedcf2f7f13f3587e03a)
![{\displaystyle \pi =[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,\cdots ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fec4d08b565377b9b786c48d09bd265d62339d27)
![{\displaystyle e=\exp(1)=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,1,1,\dots ]\,\!.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f23994e498656f66fb9816ae0552e614d3dc606)
![{\displaystyle \exp(1/n)=[1;n-1,1,1,3n-1,1,1,5n-1,1,1,7n-1,1,1,\dots ]\,\!.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9300eaa2249242899b558c212ec68b894e145c0)
![{\displaystyle \exp(2/n)=[1;(n-1)/2,6n,(5n-1)/2,1,1,\dots ,3nk+(n-1)/2,6n(2k+1),3nk+(5n-1)/2,1,1,\dots ]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7222c456814274efb4e7466b92e7188c6cc56fdf)
![{\displaystyle e^{2}=\exp(2)=[7;2,1,1,3,18,5,1,1,6,30,8,1,1,9,42,11,1,1,\dots ,3k,12k+6,3k+2,1,1,\dots ]\,\!.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f7294bd4d9dbd7dc9da013e7ef5460b9ae2090b)
![{\displaystyle \tanh(1/n)=[0;n,3n,5n,7n,9n,11n,13n,15n,17n,19n,\dots ]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0df662123397b172ca5ee153a3fcd6a70dc4b22)
![{\displaystyle \tan(1)=[1;1,1,3,1,5,1,7,1,9,1,11,1,13,1,15,1,\dots ]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e795628edf98f19bdbc0fe7226564246502ce7f3)
![{\displaystyle \tan(1/n)=[0;n-1,1,3n-2,1,5n-2,1,7n-2,1,\dots ]\,\!.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74779fe0de779364a1e623ab1d54435d87d4cd2d)
![{\displaystyle 9/4=[2;3,1]=[2;4]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98743ad222391cf25b16758fa4af94a5ca96b69c)
![{\displaystyle {\sqrt {2}}=[1;2,2,2,2,\dots ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/080bc545333b2f78ea7a6d2c7a5ad84134a5b85b)
![{\displaystyle \phi =[1;1,1,1,\dots ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fa7df60be727c058cf8c5beb6faf47a635c6077)
![{\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82db5ec4c34f30b050ace63fc119f5f1993432b5)
![{\displaystyle [a_{0};a_{1},\cdots ,a_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0b525d03cd6c908a80958770bc0eca442a98fba)
