Обмежені неповні частки

У математиці про дійсне число кажуть, що воно має обмежені неповні частки, якщо при його розкладанні в ланцюговий дріб неповні частки не набувають як завгодно великих значень.

Визначення Ланцюговий дріб $x=[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ]=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+\dots }}}}$ має обмежені неповні частки, якщо існує число $c$ таке, що $a_{i}\leq c$ для будь-якого $i\geq 0$.

Властивості

• будь-який періодичний ланцюговий дріб має обмежені неповні частки;

• якщо $x$ має обмежені неповні частки, то у двійковому поданні значення функції Мінковського в точці $x$ відстань між сусідніми одиницями обмежена (в цьому контексті множину таких чисел можна розуміти як широке узагальнення ідеї побудови множини Кантора).

Гіпотеза Заремби

Розклад раціонального числа в ланцюговий дріб завжди скінченний, тому всі його неповні частки обмежені найбільшою з них. Особливо цікавим є питання, чи можна накласти єдині обмеження на неповні частки більшості раціональних чисел. Його 1972 року поставив Станіслав Заремба.

Гіпотеза Заремби Існує абсолютна стала $c$ така, що для будь-якого знаменника $q\in {\mathbb {N} }$ існує чисельник $a<q$ такий, що $(a,q)=1$ та неповні частки нескоротного дробу ${\frac {a}{q}}=[a_{1},\dots ,a_{s}]$ обмежені нерівністю $a_{i}\leq c,\ i=1,\dots ,s$

Бурген і Конторович довели гіпотезу для багатьох чисел $q$ щільності 1. Для малих значень сталої $c$ та окремих множин допустимих значень $a_{i}$ вивчають слабші нижні оцінки на розподіл таких $q$.

Література

• J. Bourgain, A. Kontorovich. On Zaremba’s conjecture // Annals of Mathematics. — 2014. — Vol. 180 (16 January). — P. 137–196.
• И. Д. Кан. Усиление теоремы Бургейна–Конторовича. IV // Известия РАН. — 2016. — Т. 80, вып. 6 (16 января). — С. 103–126.