Ланцюг Паппа Александрійського

Ланцюг Паппа Александрійського

Ланцюг Паппа Александрійського — кільце всередині двох дотичних кругів, заповнених попарно дотичними кругами менших діаметрів. Досліджена Паппом Александрійським у III столітті н. е.

Побудова

Беремо точки $A,B,C$ у такому порядку на одній прямій та побудуємо кола $C_{U}$ та $C_{V}$ з діаметрами $AB$ та $AC$ відповідно, центри яких позначимо $U$ та $V$. Фігура, обмежена колами, схожа з арбелосом (але складається з двох дуг окружності замість трьох) та допускає ланцюг кіл, так як і у теоремі Паппа Александрійського. При цьому кожне коло з ланцюга дотикається окружності $C_{U}$ ззовні, окружності $C_{V}$ зсередини та двох сусідніх кіл ланцюга.

Властивості

• Центри $P_{n}$ кіл ланцюга розташовані на спільному еліпсі, фокусами якого є центри $U$ и $V$ кіл яка охоплює фігури, оскільки сума відстаней від центру n-го до точок $U$ та $V$ не залежить від n:

${\overline {\mathbf {P} _{n}\mathbf {U} }}+{\overline {\mathbf {P} _{n}\mathbf {V} }}=\left(r_{U}+r_{n}\right)+\left(r_{V}-r_{n}\right)=r_{U}+r_{V}$

• Якщо $r=AC/AB$, то центр $P_{n}$ та радіус $r_{n}$ n-го кола ланцюга задаються формулами

$\left(x_{n},y_{n}\right)=\left({\frac {r(1+r)}{2[n^{2}(1-r)^{2}+r]}}~,~{\frac {nr(1-r)}{n^{2}(1-r)^{2}+r}}\right),$

$r_{n}={\frac {(1-r)r}{2[n^{2}(1-r)^{2}+r]}}$

Інверсія кола

Під певною інверсією, розташованої в точці A, чотири початкових кола з ланцюга Паппа перетворюються на стопку з чотирьох кіл, однакових за розміром, затиснуті між двома паралельними лініями. Це пояснює формулу висоти h_n = n d_n та той факт, що початкові точки дотику лежать на загальному колі.

Висота h_n центру n-го кола над основним діаметром ACB дорівнює n помножене на d_n. Це може бути показано за допомогою інверсії відносно кола з центром у дотичній точці A. Інверсія кола обирається таким чином, щоб перетнути n-те коло перпендикулярно, так щоб n-те коло відображалось само на себе. Два орбелосних кола, $C_{U}$ та $C_{V}$, перетворюються на паралельні лінії, що дотичні до зміщеного n-го кола; отже, інші кола ланцюга Паппа перетворюються на аналогічно затиснуті кола одного діаметру. Початкове коло $C_{O}$ та кінцеве коло $C_{N}$, кожне додають ½d_n до висоти h_n, тоді як кола C₁–C_n−1, кожне додає d_n. Сума цих висот дає рівняння h_n = n d_n.

Таку ж інверсію можна використати для того, щоб показати, що точки де кола ланцюга Паппа дотичні один до одного лежать на спільному колі. Як показано вище, інверсія відносно точки A перетворює арбелосні кола $C_{U}$ та $C_{V}$ на дві паралельні лінії, а кола ланцюга Паппа на купу рівних кіл затиснутих між двома паралельними лініями. Отже, точки дотику між перетвореними колами лежить на середині лінії між двома паралельними лініями. Обертаючи інверсію в колі, ця лінія дотичних точок перетворюється назад у коло.

Ланцюг Штейнера

У цих властивостях, що мають центри на еліпсі та точки дотику на колі, ланцюг Паппа аналогічний ланцюгу Штайнера, в якому скінченне число кіл дотикаються до двох кіл.

Література

• Ogilvy, C. S. (1990). Excursions in Geometry. Dover. с. 54–55. ISBN 0-486-26530-7.
• Bankoff, L. (1981). How did Pappus do it?. У Klarner, D. A. (ред.). The Mathematical Gardner. Boston: Prindle, Weber, & Schmidt. с. 112—118. Архів оригіналу за 15 червня 2018. Процитовано 20 грудня 2017.
• Johnson, R. A. (1960). Advanced Euclidean Geometry: An elementary treatise on the geometry of the triangle and the circle (вид. reprint of 1929 edition by Houghton Miflin). New York: Dover Publications. с. 116–117. ISBN 978-0-486-46237-0.
• Wells, D. (1991). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin Books. с. 5–6. ISBN 0-14-011813-6.

Посилання

• Floer van Lamoen and Eric W. Weisstein Pappus Chain(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Tan, Stephen. Arbelos. Архів оригіналу за 24 квітня 2016. Процитовано 20 грудня 2017.