Лема Шаунеля

У абстрактній алгебрі лемою Шаунеля називається твердження про властивості проективних модулів.

Твердження

Нехай $R$ є кільцем і послідовності $R$-модулів нижче є точними:

$0\rightarrow K\rightarrow P{\xrightarrow {\ \varphi \ }}M\rightarrow 0$

$0\rightarrow K'\rightarrow P'{\xrightarrow {\ \varphi '\ }}M\rightarrow 0$

Якщо $P,P'$ є проективними модулями то існує ізоморфізм $P'\oplus K\cong P\oplus K'$, між прямими сумами модулів.

Доведення

У попередніх позначеннях введемо підмодуль:

$X=\{(p,q)\in P\oplus P^{\prime }:\varphi (p)=\varphi ^{\prime }(q)\}.$

Відображення π : X → P, де π є проєкцією першої координати X на P, є сюр'єктивним. Оскільки φ' є сюр'єктивним, для будь-якого $p\in P$ існує $q\in P'$для якого φ(p) = φ '(q). Таким чином одержується елемент $(p,q)\in X$ для якого π (p,q) = p. Для ядра відображення π маємо:

${\begin{aligned}\ker \pi &=\{(0,q):(0,q)\in X\}\\&=\{(0,q):\phi ^{\prime }(q)=0\}\\&\cong \ker \phi ^{\prime }\cong K^{\prime }.\end{aligned}}$

Тому існує коротка точна послідовність

$0\rightarrow K^{\prime }\rightarrow X\rightarrow P\rightarrow 0.$

Оскільки P є проективним модулем, ця послідовність розщеплюється, тобто X ≅ K' ⊕ P . Також можна розглянути інше відображення π : X → P'. Як і вище звідси одержується коротка точна послідовність:

$0\rightarrow K\rightarrow X\rightarrow P^{\prime }\rightarrow 0,$

і тому X ≅ P' ⊕ K. Разом із цих двох результатів випливає твердження теореми.

Див. також

• Проективний модуль

Література

• Gopalakrishnan, N. S. (1984). Commutative Algebra. Oxonian Press. с. 290.
• Rowen, Louis H. (1988), Ring theory. Vol. I, Pure and Applied Mathematics, т. 127, Boston, MA: Academic Press Inc., с. xxiv+538, ISBN 0-12-599841-4, MR 0940245