Лемніската Жероно

Лемніската Жероно

Лемніската Жероно, або лемніската Гюйгенса — плоска крива, яка задовольняє рівнянню $\textstyle x^{4}=a^{2}(x^{2}-y^{2})$.

Отримала свою назву на честь французького математика Каміля-Кристофа Жероно, котрий описав її властивості у своєму підручнику з геометрії, виданому в Парижі у 1854 році.

Рівняння кривої у пласких координатах:

$y=\pm {\sqrt {\frac {a^{2}x^{2}-x^{4}}{a^{2}}}}$.

Лемніската Жероно є унікурсальною кривою, тому може бути описана в параметричному вигляді через раціональні функції:

$x=a{\frac {t^{2}-1}{t^{2}+1}},\ \ y=a{\frac {2t(t^{2}-1)}{(t^{2}+1)^{2}}}$.

Параметричний вигляд через тригонометричні функції:

$x=a\cos(t),\ \ y=a\sin(t)\cos(t)=a\sin(2t)/2,$

або

$x=a\cos(\omega t),\ \ y=b\sin(\omega t)\cos(\omega t)=b\sin(2\omega t)/2$

і є однією з фігур Ліссажу з подвоєною частотою коливань за віссю $y$ відносно коливань за віссю $x$ і нульовим зсувом фаз.

Посилання

• Словник плоских кривих [Архівовано 23 березня 2012 у Wayback Machine.](англ.)
• Lemniscate de Gerono [Архівовано 1 червня 2019 у Wayback Machine.](фр.)