Основна теорема про лишки

Основна теорема про лишки — результат в комплексному аналізі, що має важливе застосування для обчислення криволінійних інтегралів голоморфних функцій, а також для обчислення деяких дійсних інтегралів і суми рядів певного типу. Є узагальненням інтегральної формули Коші і інтегральної теореми Коші.

Твердження

Нехай U — відкрита, однозв'язна підмножина комплексної площини $\mathbb {C}$ , z₁,…,z_n множина особливих точок у U і f — функція що є голоморфною у множині U — {z₁,…,z_n}. Якщо γ — деяка замкнута спрямлювана крива у U, якій не належать z_k. Тоді :

\oint _{\gamma }f(z){\text{d}}z=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Res} (f,z_{k})\,\mathrm {Ind} _{\gamma }(z_{k}).

В даній рівності, Res(f,z_k) позначає лишок функції f в точці z_k, а $\mathrm {Ind} _{\gamma }(z_{k})$ індекс контуру γ відносно точки z_k.

Дане число може бути визначене за формулою:

\operatorname {Ind} _{\gamma }(z_{k})={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {{\text{d}}z}{z-z_{k}}}.

Замітка. У найпоширенішому випадку крива вважається жордановою, тобто вона ніде не перетинається сама з собою. В такому випадку крива розбиває область U на дві частини внутрішню та зовнішню. Для внутрішніх особливих точок (як на малюнку) в таких випадках $\mathrm {Ind} _{\gamma }(z_{k})=1$ , для зовнішніх $\mathrm {Ind} _{\gamma }(z_{k})=0$ і їх можна не враховувати. Тоді рівність із твердження теореми перепишеться:

\oint _{\gamma }f(z){\text{d}}z=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Res} (f,z_{k})

де сума береться по всіх внутрішніх особливих точках.

Доведення

Нехай F — множина особливих точок функції f, і для $z_{0}\in F$ , функція допускає розклад у ряд Лорана в деякому проколотому диску $D(z_{0},r)\backslash \{z_{0}\}$ радіуса $r>0$ з центром у точці $z_{0}$ :

f(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }b_{z_{0},n}(z-z_{0})^{n}

Нехай $h_{z_{0}}$ ряд, визначений із сингулярної частини ряду Лорана :

h_{z_{0}}(z)=\sum _{-\infty }^{-1}b_{z_{0},n}(z-z_{0})^{n}

Він є нормально збіжним на компактних підмножинах $U-\{z_{0}\}$ .

Визначимо функцію g у всій множині U як:

g(z)=f(z)-\sum _{z_{i}\in F}h_{z_{i}}(z)

Дана функція є голоморфною в усій області U і тому згідно з інтегральною теоремою Коші:

\oint _{\gamma }g(z)dz=0

згідно з визначенням функції g :

\oint _{\gamma }f(z)dz=\sum _{z_{i}\in F}\oint _{\gamma }h_{z_{i}}(z)dz

Зважаючи на нормальну збіжність $h_{z_{i}}$ можна записати :

\oint _{\gamma }h_{z_{i}}(z)dz=\sum _{-\infty }^{-1}b_{z_{i},n}\oint _{\gamma }(z-z_{i})^{n}dz

Обчислюючи інтеграли одержуємо :

\oint _{\gamma }(z-z_{i})^{n}dz={\begin{cases}2i\pi \mathrm {Ind} _{\gamma }(z_{i})&n=-1\\0&n\neq -1\end{cases}}

Об'єднавши дві попередні формули можна одержати:

\oint _{\gamma }f(z)dz=2i\pi \sum _{z_{i}\in F}b_{z_{i},-1}\mathrm {Ind} _{\gamma }(z_{i})

і згадавши визначення лишка одержуємо необхідний результат:

\oint _{\gamma }f(z)dz=2i\pi \sum _{z_{i}\in F}\mathrm {Res} (f,z_{i})\mathrm {Ind} _{\gamma }(z_{i})

Див. також

Посилання

Residue theorem на сайті MathWorld
Residue Theorem Module by John H. Mathews
Приклади застосування

Література

Мельник Т.А. (2015). Комплексний аналіз : підручник (PDF). Київ: ВПЦ "Київський університет". с. 192. ISBN 978-966-439-800-5.
Ляшко І.І., Ємельянов В.Ф., Боярчук О.К. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Вища школа, 1992. — 496 с. — ISBN 5-11-003757-4.(укр.)
Mitrinović, Dragoslav; Kečkić, Jovan (1984). The Cauchy method of residues: Theory and applications (англ.). D. Reidel Publishing Company. ISBN 90-277-1623-4.
Ahlfors, Lars (1979). Complex Analysis (англ.). McGraw Hill. ISBN 0-07-085008-9.
Rudin, Walter, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 978-0070542341
Zill Dennis G., Shanahan Patrick D., A first course in complex analysis with applications, Jones and Bartlett Publishers, Inc., ISBN 0763714372