Логарифмічний потенціал — функція, визначена в ℝ2 як згортка узагальненої функції ρ з функцією -ln|z|:
![{\displaystyle V=-\rho \ln |z|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/982a81ec4e7697190b935b438848d270e3fa4e55)
Логарифмічний потенціал задовольняє рівняння Пуассона V = −2πρ. За аналогією з ньютонівським потенціалом можна розглядати три окремі випадки логарифмічного потенціалу.
Фізичний зміст логарифмічних потенціалів полягає в тому, що вони відповідають потенціалу, який створюють заряди (або маси) у двовимірній електростатиці (або двовимірній ньютонівській гравітації), розподілені з (двовимірною) густиною ρ. З точки зору звичайної тривимірної електростатики, йдеться про електростатичний потенціал, який створює розподіл зарядів, що має трансляційну симетрію за однією з просторових осей (за віссю, ортогональною до площини, декартові координати на якій є компоненти вектора z, або його дійсна і уявна частина, якщо вважати z комплексним числом), іншими словами, розподіл зарядів, що не залежить від третьої координати, сталий за нею (потенціал зарядженої нитки).
![{\displaystyle V(z)=\iint \limits _{G}\rho (\zeta )\ln {\frac {1}{|z-\zeta |}}d\xi \,d\eta ,\qquad \zeta =\xi +i\eta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/585191964a7cab7b2c17fb989b8428b66d4c31d5)
Якщо
, то сам потенціал
гармонічний в
і
![{\displaystyle V(z)=\ln {\frac {1}{|z|}}\iint \limits _{G}\rho (\zeta )d\xi \,d\eta +O\left({\frac {1}{|z|}}\right),\ |z|\rightarrow \infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27f4385168f3fd7b933d5a765fd6ce3422a8efa3)
Тут, як це часто роблять, маємо на увазі подання
як комплексної площини; втім, у межах визначень це несуттєво, й у цьому сенсі тут можна всюди замінити комплексні змінні
просто двовимірними векторами, а модуль комплексного числа — евклідовою нормою
, а якщо
також комплексна, можна розглядати окремо її дійсну та уявну частини.
![{\displaystyle V^{(0)}(z)=\mu \delta _{S}\ln {\frac {1}{|z|}}=\int \limits _{S}\mu (\zeta )\ln {\frac {1}{|z-\zeta |}}dS_{\zeta }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f5971b7e95a12b6b3570edaf2538833f42c8d7a)
Якщо
, то сам потенціал
гармонічний в
і
![{\displaystyle V^{(0)}(z)=\ln {\frac {1}{|z|}}\int \limits _{S}\mu (\zeta )dS_{\zeta }+O\left({\frac {1}{|z|}}\right),\ |z|\rightarrow \infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c9444e3423a2e1eccfe0d49cc8982e2786a96d1)
Якщо S — крива Ляпунова, то потенціал має похідні, причому на самій кривій спостерігається їх розрив:
![{\displaystyle \left({\frac {\partial V^{(0)}}{\partial \mathbf {n} }}\right){\Bigg |}_{+}=-\pi \mu (z)+{\frac {\partial V^{(0)}(z)}{\partial \mathbf {n} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ee3974393ebc26cae90a65638a23447f4c494b1)
![{\displaystyle \left({\frac {\partial V^{(0)}}{\partial \mathbf {n} }}\right){\Bigg |}_{-}=\pi \mu (z)+{\frac {\partial V^{(0)}(z)}{\partial \mathbf {n} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/367a82649082b6c49b6c101adea938822367e767)
![{\displaystyle V^{(1)}(z)=-\ln {\frac {1}{|z|}}*{\frac {\partial }{\partial \mathbf {n} }}(\nu \delta _{S})=\int \limits _{S}\nu (\zeta ){\frac {\partial }{\partial \mathbf {n} }}\left(\ln {\frac {1}{|z-\zeta |}}\right)dS_{\zeta }=\int \limits _{S}\nu (\zeta ){\frac {\cos \varphi }{|z-\zeta |}}dS_{\zeta },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b31f705f77b1e9f92dc1795b09f2a7cad7d94c8)
де φ — кут між нормаллю в точці ζ і радіус-вектором, проведеним у цю точку з точки z.
Якщо
, то сам потенціал
гармонічний у
і
![{\displaystyle V^{(1)}(z)=O\left({\frac {1}{|z|}}\right),\ |z|\rightarrow \infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dc6d29e5ca28b0a2f963bfe46d7a172c09f346f)
Якщо S — крива Ляпунова, то:
![{\displaystyle V^{(1)}\in C({\overline {G}})\cap C(S)\cap C(\mathbb {R} ^{2}\setminus G)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90feeed5afe2078b32d26344a60126ab4b768d4b)
і
![{\displaystyle V_{+}^{(1)}(z)=\pi \nu (z)+V^{(1)}(z),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aa1610d605a5579130f1e26548c7818092bb4c4)
![{\displaystyle V_{-}^{(1)}(z)=-\pi \nu (z)+V^{(1)}(z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c31b652db3c996d5a4a82938e2457415bf461aa0)
Якщо, до того ж, густина — стала величина, потенціал дорівнює
![{\displaystyle V^{(1)}={\begin{cases}-2\pi \nu ,\ z\in G,\\-\pi \nu ,\ z\in S,\\0,\ z\in \mathbb {R} ^{2}\setminus {\overline {G}}.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83a3761f2dcec6d3e0b3cfe29706671f456e6f74)