Локально лінійно зв'язаний простір
Локально лінійно зв'язаний простір — топологічний простір, в якому для будь-якої точки і будь-якого її околу є менший лінійно зв'язаний відкритий окіл. Іншими словами, для кожної точки знайдеться база околів, що складається з лінійно зв'язаних множин.
Підмножина топологічного простору називається локально лінійно зв'язаною, якщо воно разом зі своєю індукованої топологією утворює локально лінійно зв'язаний простір.
- Локально лінійно зв'язний простір є локально зв'язаним, обернене твердження не є вірним.
- Зв'язаний, локально лінійно зв'язний простір є лінійно зв'язаним.
- Відкрита підмножина локально лінійно зв'язаного простору теж є локально лінійно зв'язаним простором.
- Топологічний простір є локально лінійно зв'язаним тоді і тільки тоді коли для довільної його відкритої підмножини її компоненти лінійної зв'язності є відкритими підмножинами.
- У локально лінійно зв'язаних просторів поняття компонент зв'язності і компонент лінійної зв'язності є еквівалентними.
- Більшість основних теорем теорії накриттів, зокрема існування універсального накриття вимагає щоб базовий простір був лінійно зв'язаним, локально лінійно зв'язаним і напівлокально однозв'язним.
- Евклідів простір зі стандартною топологією є локально лінійно зв'язаним.
- Простір з топологією, індукованої стандартною топологією дійсної прямої, є локально лінійно зв'язаним, однак не є лінійно зв'язаним.
- Підмножина евклідової площини з топологією, індукованої стандартною топологією, є, очевидно, лінійно зв'язаним простором, проте не локально лінійно зв'язаним (будь-який відкритий окіл точки не є лінійно зв'язаним).
- Іншим прикладом простору, що є лінійно зв'язаним але не є локально лінійно зв'язаним є об'єднання графіка функції із дугою,що сполучає точки (1,0) і (0,-1). Будь-який відкритий окіл точки не є лінійно зв'язаним
- Зліченна множина з кофінітною топологією (замкнутими підмножинами якої є скінченні підмножини весь простір) є локально зв'язаним простором, але не є локально лінійно зв'язаним.
![{\displaystyle [0,1]\cup [2,3]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f771855546506a8323bcf011a710de0927c631f0)
![{\displaystyle \left(\{0\}\times [0,1]\right)\cup \left([0,1]\times \{0\}\right)\cup \left(\{1/n\mid n\in \mathbb {N} \}\times [0,1]\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12ab02f3e180fa9960aad8c9fe409e13bfaa8e83)
![{\displaystyle \sin(1/x),\;x\in (0,1/\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79633ba88e1e525ceeffcb089c98a08f622529a1)
- Gaal, Steven A.(1966), Point set topology, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-47222-5 (англ.)
- Isadore Singer, John A. Thorpe (1967), Lecture Notes on Elementary Geometry and Topology, Springer-Verlag ISBN 0-387-90202-3 (англ.)
- Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (вид. Dover reprint of 1978), Mineola, NY: Dover Publications, Inc., ISBN 978-0-486-68735-3, MR 1382863(англ.)