Максимальний тор

Максимальний тор зв'язаної дійсної групи Лі $G$ — зв'язана компактна комутативна підгрупа Лі $T$ в $G$, що не міститься в жодній більшій підгрупі такого типу.

Властивості

• Як група Лі, максимальний тор $T$ є ізоморфним прямому добутку декількох копій $S^{1}$ (мультиплікативної групи всіх комплексних чисел, рівних по модулю $1$).
• Будь-який максимальний тор групи $G$ міститься в максимальній компактній підгрупі групи $G$;
• Максимальний тор є також максимальною абелевою підгрупою але обернене твердження не є справедливим.
• Будь-які два максимальних тора групи $G$ (так само, як і будь-які дві її максимальні компактні підгрупи) є спряженими в $G$. Відповідно всі максимальні тори мають однакову розмірність, яку називають рангом групи $G$

Випадок компактних груп Лі

Нехай тепер $G$ є компактною групою.

• Об'єднання всіх максимальних торів групи $G$ є рівним всій групі $G$,
• перетин всіх максимальних торів групи $G$ є рівним центру групи $G$.
• Алгебра Лі максимального тора $T$ є максимальною комутативною підалгеброю в алгебрі Лі ${\mathfrak {g}}$ групи $G$. Більш того,
  • будь-яка максимальна комутативна підалгебра в ${\mathfrak {g}}$ є алгеброю Лі деякого максимального тора.

Дана максимальна комутативна підалгебра Лі є підалгеброю Картана.

• Централізатор максимального тора $T$ в $G$ збігається з $T$.
• Приєднане представлення максимального тора $T$ в ${\mathfrak {g}}$ є діагоналізовним і всі ненульові ваги цього представлення утворюють систему коренів у просторі $\chi (T)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} ,$ де $\chi (T)$ — група характерів тора.

Див. також

• Підалгебра Картана

Література

• Желобенко Д. П. Компактные группы Ли и их представления. — М., 1970 (рос.)
• Понтрягин Л. С. Непрерывные группы, 3 изд. — М., 1973 (рос.)
• Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, пер. с англ. — М., 1964 (рос.)