Підалгебра Картана

В математиці, зокрема теорії алгебр Лі, підалгебрами Картана називаються певні нільпотентні підалгебри, які зокрема мають велике значення для класифікації напівпростих алгебр Лі і в теорії симетричних просторів. Названі на честь французького математика Елі Картана.

Означення

Нехай ${\mathfrak {g}}$ — алгебра Лі. Підалгебра ${\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {g}}$ називається підалгеброю Картана, якщо вона є нільпотентною і рівна своєму нормалізатору. Формально ці умови можна записати як:

• $\underbrace {[{\mathfrak {a}},[{\mathfrak {a}},[\dotsb ,[{\mathfrak {a}},{\mathfrak {a}}} _{n}]\dotsb ]]]=0$ для деякого $n\in \mathbb {N}$ (нільпотентність)
• $\forall Y\not \in {\mathfrak {a}}\ \exists X\in {\mathfrak {a}}:\ \left[X,Y\right]\not \in {\mathfrak {a}}$(самонормалізованість).

Еквівалентним є таке означення: нільпотентна підалгебра ${\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {g}}$ називається підалгеброю Картана, якщо вона є рівна своїй нуль-компоненті Фіттінга, тобто множині:

${\mathfrak {g}}_{0}:=\left\{X\in {\mathfrak {g}}:\forall H\in {\mathfrak {a}}\;\;\exists n_{H,X}\in \mathbb {Z} ,\;\;(\operatorname {ad} H)^{n_{H,X}}(X)=0\right\},$

де $\operatorname {ad}$ — приєднане представлення групи Лі.

Властивості

• Підалгебри Картана є максимальними нільпотентними підалгебрами, тобто не містяться у строго більших нільпотентних підалгебрах.
• Довільна скінченновимірна алгебра Лі над нескінченним полем має підалгебру Картана.
• Для скінченновимірної алгебри Лі над алгебраїчно замкнутим полем характеристики 0 усі підалгебри Картана є спряженими щодо автоморфізмів алгебри Лі і зокрема є ізоморфними. Розмірність алгебр Картана називається рангом алгебри Лі. У випадку, якщо алгебра Лі є розв'язною, то ці властивості є справедливі і для полів, що не є алгебраїчно замкнутими.
• В тих же припущеннях, що і вище, довільна максимальна нільпотентна підгрупа, розмірність якої рівна рангу алгебри Лі, є підгрупою Картана.
• Образ підалгебри Картана при сюр'єктивному гомоморфізмі алгебр Лі є підалгеброю Картана.
• Нехай для скінченновимірної алгебри Лі над нескінченним полем $X\in {\mathfrak {g}}$ є регулярним елементом, тобто елементом, для якого нульова компонента Фіттінга ендоморфізму $\operatorname {ad} X$ має мінімальну розмірність. Тоді підалгебра ${\mathfrak {n}}(X,{\mathfrak {g}})$, елементами якої є $Y\in {\mathfrak {g}}$, такі, що $\operatorname {ad} ^{n}X(Y)=0$ для деякого $n\in \mathbb {Z}$, є підалгеброю Картана. Для полів характеристики 0 всі підалгебри Картана мають вид як для відповідного регулярного елемента $X\in {\mathfrak {g}}.$ Кожен регулярний елемент належить одній і тільки одній підгрупі Картана.
• Якщо $k\subset K$ є деяким розширенням поля, то підалгебра ${\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {g}}$ є підалгеброю Картана тоді і тільки тоді, коли ${\mathfrak {a}}\otimes _{k}K$ є підалгеброю Картана алгебри ${\mathfrak {g}}\otimes _{k}K.$

Приклади

• Будь-яка нільпотентна алгебра Лі рівна своїй підалгебрі Картана.
• Підалгеброю Картана загальної лінійної групи над деяким полем є алгебра діагональних матриць.
• Підалгеброю Картана алгебри Лі

${\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )=\left\{A\in \mathrm {Mat} (n,\mathbb {C} ):\mathrm {Tr} (A)=0\right\}$

є підалгебра діагональних матриць

${\mathfrak {a}}_{0}=\left\{\mathrm {diag} (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}):\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n}=0\right\}$.

Будь-яка інша підалгебра Картана ${\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )$ є спряженою до ${\mathfrak {a}}_{0}$.

• Натомість, наприклад, у алгебрі ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )$ є неспряжені підалгебри Картана, зокрема

${\mathfrak {a}}_{1}=\mathbb {R} \left({\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}}\right)$

і

${\mathfrak {a}}_{2}=\mathbb {R} \left({\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}}\right)$.

• Розмірність алгебри Картана загалом не є максимальною розмірністю абелевої підалгебри, навіть для простих алгебр над полем комплексних чисел. Наприклад, алгебра Лі ${\mathfrak {sl}}(2n,\mathbb {R} )$ має підалгебру Картана розмірності 2n−1, але розмірність її абелевої підалгебри, що складається з усіх матриць виду ${0\ A \choose 0\ 0}$, де A — довільна матриця розмірності n×n, є рівною n². Ця підалгебра не є підалгеброю Картана, оскільки строго міститься у нільпотентній підалгебрі верхніх трикутних матриць з нульовими діагональними елементами.
• Прикладом максимальної нільпотентної підалгебри, що не є підалгеброю Картана, може бути алгебра ${\mathfrak {h}}$ матриць виду $\{aI_{n}+N\},$ де $a\in \mathbb {R} ,\;\;$$I_{n}$ — одинична матриця порядку n, а матриці $N\in {\mathfrak {n}}$ є верхніми трикутними з нульовими діагональними елементами. Дані матриці утворюють абелеву підалгебру загальної лінійної групи і можна довести, що ця алгебра є максимальною нільпотентною підалгеброю. Проте, якщо Y є діагональною матрицею, не всі елементи якої є рівними, то $[Y,X]\in {\mathfrak {n}}\subset {\mathfrak {h}},\;\;\forall X\in {\mathfrak {h}},$ хоча $Y\not \in {\mathfrak {h}}$, і друга вимога в означенні підалгебри Картана не виконується.

Напівпрості алгебри Лі

Якщо ${\mathfrak {g}}$ є напівпростою алгеброю Лі над алгебраїчно замкнутим полем характеристики 0, тоді підалгебра Картана ${\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {g}}$ є абелевою і образи приєднаного представлення $\mathrm {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})$, обмеженого на ${\mathfrak {a}}$, є одночасно діагоналізовними у множині вагових векторів, до того ж ${\mathfrak {a}}$ є власним простором, що відповідає вазі $0$. Також справедливим є розклад в пряму суму

${\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in {\mathfrak {a}}^{*}}{\mathfrak {g}}_{\alpha }$

де

$\left[X,Y\right]=\alpha (X)Y\quad \forall X\in {\mathfrak {a}},Y\in {\mathfrak {g}}_{\alpha }$

і

${\mathfrak {g}}_{\alpha }\not =0\Longrightarrow \alpha (X)\not =0\quad \forall X\in {\mathfrak {a}}$.

Зокрема у випадку

${\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )=\left\{A\in \mathrm {Mat} (n,\mathbb {C} ):\mathrm {Spur} (A)=0\right\},$

${\mathfrak {a}}=\left\{\mathrm {diag} (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}):\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n}=0\right\}$

якщо позначити $e_{ij}$ матрицю з елементом $1$ в позиції $(i,j)$ і іншими елементами, рівними $0$, тоді розклад має вид

${\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}\oplus \bigoplus _{i\not =j}\mathbb {C} e_{ij}={\mathfrak {a}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in {\mathfrak {a}}^{*}}{\mathfrak {g}}_{\alpha }$

де $\mathbb {C} e_{ij}={\mathfrak {g}}_{\alpha }$ для ваги

$\alpha (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})=\lambda _{i}-\lambda _{j}$.

Література

• Élie Cartan: Sur la structure des groupes de transformations finis et continus. Thèse, Paris 1894.
• Anthony W. Knapp: Lie groups beyond an introduction. (Progress in Mathematics, 140). Second edition. Birkhäuser, Boston, MA 2002, ISBN 0-8176-4259-5.