Мартингал

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Мартинга́л в теорії ймовірностей — це випадковий процес, математичне сподівання якого в майбутній час рівне значенню процесу в цей час. Теорія мартингалів є одним з основних розділів сучасної теорії ймовірностей і має широке застосування у стохастичному моделюванні, зокрема у сфері фінансів.

Мартингали з дискретним часом

[ред. | ред. код]
  • Послідовність випадкових величин називається мартинга́лом з дискретним часом, якщо виконуються умови
  1. ;
  2. .
  • Нехай задана також інша послідовність мартингалів . Тоді послідовність випадкових величин називається мартингалом відносно або -мартингалом, якщо
  1. ;
  2. .
  • Найбільш загально нехай ймовірнісний простір і задана на ньому фільтрація. Тоді послідовність випадкових величин називається мартингалом, якщо виконуються умови:
  1. Процес є узгодженим з фільтрацією .
  2. ;
  3. .

Виконуються також і загальніші властивості. Якщо m < n тоді:

.

Мартингали з неперервним часом

[ред. | ред. код]

Нехай задано ймовірнісний простір з заданою на ньому фільтрацією , де . Тоді випадковий процес називається мартингалом відносно , якщо

  1. вимірна відносно для довільного .
  2. .
  3. .

Якщо як взята природна фільтрація , то називається просто мартингалом.

Суб(супер)мартингали

[ред. | ред. код]
  • Нехай задана послідовність випадкових величин . Тоді послідовність випадкових величин називається су́б(су́пер)мартингалом відносно , якщо
  • Випадковий процес називається суб(супер)мартингалом відносно , якщо
  1. вимірна відносно для довільного .
  2. .
  3. .

Якщо як взята природна фільтрація , то називається просто суб(супер)мартингалом.

Властивості

[ред. | ред. код]
  • Якщо — мартингал, то .
  • Якщо — субмартингал, то — супермартингал.
  • Якщо є мартингалом, а опукла функція, то — субмартингал. Якщо вгнута функція, то — супермартингал.

Приклади

[ред. | ред. код]

Джерела

[ред. | ред. код]