Опукла функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Опукла функція однієї змінної

Опукла функція, або опукла вниз функція[1] — функція, яка визначена на опуклій множині лінійного простору, і задовольняє нерівності

Нехай область визначення опуклої функції лежить в скінченновимірному просторі, тоді неперервна в будь-якій внутрішній точці цієї області.

Властивості опуклих функцій

[ред. | ред. код]

Нехай  — будь-які точки із області визначення опуклої функції ,  — невід'ємні числа, які в сумі дорівнюють . Тоді

.

Якщо  — двічі неперервно-диференційована опукла функція, то матриця її других похідних не від'ємно визначена.

Сильно опукла функція

[ред. | ред. код]

Поняття сильно опуклої функції розширює та параметризує поняття строгої опуклості. Сильно опукла функція також є строго опуклою, але не навпаки.

Диференційовна функція f називається сильно опуклою з параметром m > 0 якщо для всіх точок x, y в її домені зберігається наступна нерівність:[2]

або більш загально,

де будь-яка норма.

Операції, що зберігають опуклість

[ред. | ред. код]
  • Якщо f і g є опуклими функціями, тоді і також опуклі.
  • Якщо f і g є опуклими функціями і g є неспадною, тоді є опуклою. Наприклад, якщо f(x) є опуклою, тоді , також опукла, тому що є опуклою і монотонно висхідною.
  • Якщо f є угнутою і g є опуклою і невисхідною, тоді є опуклою.
  • Опуклість незмінна при застосування афінного відображення: тобто, якщо f є опуклою із областю визначення , тоді також опукла, де з областю визначення .
  • Якщо f(x, y) є опуклою по x тоді є опуклою по x, якщо для якогось x, навіть якщо C не є опуклою множиною.
  • Якщо f(x) є опуклою, тоді її перспектива (чия область визначення — ) є опуклою.
  • Протилежна до опуклої функції функція є угнутою.
  • Якщо є опуклою дійснозначимою функцією, тоді для зліченного набору дійсних чисел

Див. також

[ред. | ред. код]

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. Заболоцький, М. В.; Сторож, О. Г.; Тарасюк, С. І. (2008). 7.3. Опуклість функції (с. 133). Математичний аналіз. Київ: Знання. с. 421. ISBN 978-966-346-323-0.
  2. Dimitri Bertsekas (2003). Convex Analysis and Optimization. Contributors: Angelia Nedic and Asuman E. Ozdaglar. Athena Scientific. с. 72. ISBN 9781886529458.

Джерела інформації

[ред. | ред. код]

Посилання

[ред. | ред. код]