Матриця Сильвестра

В математиці, матрицею Сильвестра називають матрицю елементами якої є нулі, а також певним чином розмішені коефіцієнти двох многочленів.

Означення

Нехай p і q два многочлени, степенів m і n. Візьмемо:

$p(z)=p_{0}+p_{1}z+p_{2}z^{2}+\cdots +p_{m}z^{m},\;q(z)=q_{0}+q_{1}z+q_{2}z^{2}+\cdots +q_{n}z^{n}.$

Матрицею Сильвестра для многочленів p і q є матриця розмірності $(n+m)\times (n+m)$ одержана таким чином:

• елементами першого рядка є:

${\begin{pmatrix}p_{m}&p_{m-1}&\cdots &p_{1}&p_{0}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}.$

• другий рядок одержується з першого переміщенням елементів на одну позицію вправо; перший елемент рядка рівний нулю.
• наступні (n-2) рядків одержуються подібним чином.
• (n+1)-ий рядок має вигляд:

${\begin{pmatrix}q_{n}&q_{n-1}&\cdots &q_{1}&q_{0}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}.$

• Наступні рядки формуються у вже згаданий спосіб.

Наприклад якщо m=4 і n=3, одержуємо наступну матрицю:

$S_{p,q}={\begin{pmatrix}p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0&0\\0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0\\0&0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}\\q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0&0\\0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0\\0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0\\0&0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}\\\end{pmatrix}}.$

Визначник матриці Сильвестра

Теорема Визначник матриці Сильвестра многочленів p і q рівний результанту цих многочленів, де результант визначається як:

$\mathrm {res} (p,q)=p_{m}^{n}q_{n}^{m}\prod _{1\leqslant i\leqslant m,\,1\leqslant j\leqslant n}(\beta _{j}-\alpha _{i}),\,$ де $\alpha _{j}$ — корені многочлена p в алгебраїчному замиканні поля, а $\beta _{j}$ — корені многочлена q в алгебраїчному замиканні поля.

Доведення

Розглянемо систему рівнянь

$x^{m-1}p(x)=0\,$

$x^{m-2}p(x)=0\,$

$\ldots \,$

$p(x)=0\,$

$x^{n-1}q(x)=0\,$

$x^{n-2}q(x)=0\,$

$\ldots \,$

$q(x)=0\,$

Дана система є системою n+m лінійних рівнянь щодо $x^{m+n-1},x^{m+n-2},\ldots ,1\,$ матрицею яких є матриця Сильвестра. Очевидно, якщо многочлени p і q мають спільний корінь то визначник матриці Сильвестра рівний нулю. Далі оскільки визначник є многочленом від коефіцієнтів многочленів p і q він є також многочленом від їх коренів. Якщо хоч для однієї з n•m пар виконується:

$\alpha _{i}-\beta _{j}=0\quad 1\leq i\leq m,1\leq j\leq n\,$

то визначник дорівнюватиме нулю, а значить, як многочлен від коренів многочленів він повинен ділитися на добуток цих різниць, тобто результант є дільником визначника Сильвестра, як многочлен від $\alpha _{i},\beta _{j}.\,$ Проте розписуючи коефіцієнти многочлена через його корені і підставляючи в формулу визначника бачимо, що степінь $\beta _{j}$ не може бути більшою ніж m, а степінь $\alpha _{i}\,$ не може бути більшою ніж n; також не важко бачити, що, наприклад, коефіцієнти біля $\beta _{j}^{m}\,$ в результанта і визначника Сильвестра збігаються і дорівнюють $p_{m}^{n}q_{n}^{m}\prod _{i=1}^{m}\alpha _{i}^{n-1}\,$ Звідси і випливає рівність результанта і визначника Сильвестра.

Застосування

Розвязки лінійних рівнянь

${S_{p,q}}^{\mathrm {T} }\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$

де $x$ є вектором розмірності $n$ і $y$ вектор розмірності $m$, є векторами коефіцієнтів єдиних поліномів $x,y$ (степенів $n-1$ і $m-1$, відповідно) що задовольняють рівність

$x\cdot p+y\cdot q=0$

(в даному рівнянні добуток і сума здійснюються для поліномів). Відповідно ядро транспонованої матриці Сильвестра дає всі розв'язки рівняння Безу $\deg x<\deg q$ and $\deg y<\deg p$.

Як наслідок ранг матриці Сильвестра визначає степінь найбільшого спільного дільника многочленів p і q.

$\deg(\gcd(p,q))=m+n-\mathrm {rank} ~S_{p,q}$м

Джерела

• Р.Хорн, Ч.Джонсон. Матричный анализ. — М: : Мир, 1989. — 653 с.(рос.)
• Eric W. Weisstein, Sylvester Matrix [Архівовано 21 серпня 2009 у Wayback Machine.] на сайті MathWorld