Результант

У математиці, результантом двох многочленів $P$ і $Q$ над деяким полем $\mathbb {K}$, зі старшими коефіцієнтами рівними одиниці, називається вираз

$\mathrm {res} (P,Q)=\prod _{(x,y):\,P(x)=0,\,Q(y)=0}(x-y),\,$

іншими словами, результант дорівнює добутку попарних різниць між їхніми коренями. Добуток береться за всіма коренями в алгебричному замиканні поля $\mathbb {K}$ з урахуванням їх кратностей; оскільки вираз, що виходить, є симетричним многочленом від коренів многочленів $P$ і $Q$ (які, можливо не належать полю $\mathbb {K}$), його можна записати як многочлен від коефіцієнтів $P$ і $Q$. Для многочленів, старші коефіцієнти яких ($p$ і $q$ відповідно) не обов'язково рівні 1, наведений вище вираз домножується на

$p^{degQ}q^{degP}.\,$

Властивості і способи обчислення

• Основна властивість результанта (і його основне застосування): результант — многочлен від коефіцієнтів $P$ і $Q$, рівний нулю в тому і лише в тому випадку, коли многочлени $P$ і $Q$ мають спільний корінь (можливо, в деякому розширенні поля $\mathbb {K}$).
• Результант дорівнює визначнику матриці Сильвестра.
• Дискримінант многочлена p можна визначити через результант p і його похідну p'.

$D(p)=(-1)^{{\frac {1}{2}}n(n-1)}{\frac {1}{p_{n}}}res(p,p'),\quad$ де p_n — старший коефіцієнт многочлена p.

Для доведення спершу розглянемо випадок p_n=1. Тоді маємо $g(x)=\prod (x-\alpha _{i})$ і при $x=\alpha _{j}$ виконується рівність:

$g^{'}(x)=\prod _{i\neq j}(\alpha _{j}-\alpha _{i})\,$

Звідси одержуємо:

$res(p,p')=\prod _{j}(p^{'}(\alpha _{j}))=\prod _{i\neq j}(\alpha _{j}-\alpha _{i})=(-1)^{{\frac {1}{2}}n(n-1)}D(p)$

Звідси й одержується частковий випадок рівняння. Загальний випадок одержується якщо врахувати, що при домноженні многочлена p на константу p_n результант res(p, p') домножується на p^2n-1, а дискримінант D(p) домножується на p^2n-2

• Результант рівний добутку значень одного з многочленів за коренями іншого (як і раніше, добуток береться з урахуванням кратності коренів):

$\mathrm {res} (P,Q)=\prod _{P(x)=0}Q(x).\,$

• $\mathrm {res} (P,Q)=(-1)^{\deg P\cdot \deg Q}\cdot \mathrm {res} (Q,P)$
• $\mathrm {res} (P\cdot R,Q)=\mathrm {res} (P,Q)\cdot \mathrm {res} (R,Q)$
• Якщо $P'=P+R\cdot Q\,$ і $\deg P'=\deg P\,$, тоді $\mathrm {res} (P,Q)=\mathrm {res} (P',Q)\,$
• Якщо $X,Y,P,Q$ є многочленами однакових степенів і $X=a_{00}\cdot P+a_{01}\cdot Q,Y=a_{10}\cdot P+a_{11}\cdot Q$,

тоді   $\mathrm {res} (X,Y)=\det {\begin{pmatrix}a_{00}&a_{01}\\a_{10}&a_{11}\end{pmatrix}}^{\deg P}\cdot \mathrm {res} (P,Q)$

• $\mathrm {res} (P_{-},Q)=\mathrm {res} (Q_{-},P)\,$  де  $P_{-}(z)=P(-z)\,$

Посилання

• Weisstein, Eric W. Результант(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.