Проєктивна модель

Через точку $P$ проходить нескінченно багато прямих, що не перетинають пряму $a$

Проєктивна модель (модель Кляйна, модель Бельтрамі — Кляйна) — модель гіперболічної геометрії, запропонована італійським математиком Еудженіо Бельтрамі. Німецький математик Фелікс Кляйн розробив її незалежно.

За її допомогою доводиться несуперечливість гіперболічної геометрії в припущенні несуперечливості евклідової геометрії.

Історія

Цю модель запропонував Бельтрамі, поряд з моделлю Пуанкаре і моделлю псевдосфери

Ще раніше, 1859 року цю модель побудував Кейлі. Але він розглядав її лише як деяку конструкцію в проєктивній геометрії і, мабуть, не помітив зв'язку її з неевклідовою геометрією. 1869 року з його роботою ознайомився 20-річний Кляйн. Він згадує, що 1870 року виступив з доповіддю про роботи Кейлі на семінарі Веєрштрасса і, як він пише, «закінчив її питанням, чи не існує зв'язку між ідеями Кейлі і Лобачевського. Я отримав відповідь, що це — дві дуже віддалені за ідеєю системи». Як каже Кляйн «я дозволив переконати себе цими запереченнями і відклав убік вже дозрілу думку». Однак 1871 року він до цієї думки повернувся, оформив її математично і опублікував.

Модель

Гіперболічну площину подано у цій моделі відкритим диском, обмеженим деяким колом — абсолютом. Точки абсолюту, так звані «ідеальні точки», гіперболічній площині вже не належать. Пряма гіперболічної площини — це хорда абсолюту, що з'єднує дві ідеальні точки.

Рухами гіперболічної геометрії в проєктивній моделі оголошуються проєктивні перетворення площини, що переводять внутрішність абсолюту в себе. Конгруентними вважаються фігури всередині абсолюту, що переводяться одна в одну такими рухами. Якщо точки $A$ і $B$ лежать на хорді $PQ$ так, що порядок їх проходження на прямій $PABQ$, тоді відстань $\ell (A,B)$ у гіперболічній площині визначається як

$\ell (A,B)={\frac {R}{2}}\,{\rm {ln}}(PQ;BA)$

де $(PQ;BA)$ позначає подвійне відношення, $R$ — радіус кривини гіперболічної площини.

Зауваження

• Будь-який факт евклідової геометрії, описаний такою мовою, подає деякий факт гіперболічної геометрії. Іншими словами, будь-яке твердження неевклідової гіперболічної геометрії на площині є не що інше, як твердження евклідової геометрії на площині, що стосується фігур усередині кола, переказане в зазначених термінах.

• Евклідова аксіома про паралельні явно не виконується в цій моделі, оскільки через точку $O$, що не лежить на даній хорді $a$, проходить скільки завгодно хорд, що не перетинають її.

Властивість

• Хорди, які зустрічаються на граничному колі, відповідають асимптотично паралельним прямим.
• Дві хорди перпендикулярні, якщо, продовжені за межі диска, кожна проходить через полюс іншої (полюс хорди — це точка перетину дотичних до абсолюту в кінцевих точках хорди). Хорди, що проходять через центр диска, мають полюс на нескінченності, ортогональний до напрямку хорди (звідси випливає, що прямі кути на діаметрах не спотворені).
• Кола в моделі стають еліпсами;
• Орициклам відповідають еліпси, що мають з абсолютом дотик порядку 4.
• Еквідистанті прямої відповідають дуги еліпсів, дотичних до абсолюту в двох абсолютних точках цієї прямої.

Див. також

• Ідеальний трикутник

Література

• Клейн Ф. О так называемой неевклидовой геометрии. [Архівовано 4 березня 2016 у Wayback Machine.] В сборнике: Основания геометрии, М., ГИТТЛ, 1956.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, гл. XII — Физматлит, Москва, 2009.