Модуль без кручень

Модуль без кручень — модуль $M$ над кільцем $K$, такий що з рівності $\alpha m=0$, де $\alpha$ — елемент $K$, який не є дільником нуля, і $m\in M$, випливає, що $m=0$.

Приклади

• Цілісне кільце $K$ як $K$-модуль, а також всі його ненульові ліві ідеали є модулями без кручень.
• Модуль M над комутативним кільцем K з полем часток Q є модулем без кручень тоді і тільки тоді, коли Tor₁(Q/K,M) = 0. зокрема, всі плоскі модулі є модулями без кручень.
• Над нетеровим цілозамкнутим кільцем довільний скінченнопороджений модуль без кручень має вільний підмодуль фактор-модуль, за яким ізоморфний ідеалу кільця.
• Над кільцем Дедекінда модуль є модулем без кручень тоді і тільки тоді, коли він є проєктивним модулем.
• Єдиними модулями без кручень над областю головних ідеалів є вільні модулі.

Властивості

• Підмодуль модуля без кручень, а також пряма сума і прямий добуток модулів без кручень також є модулями без кручень.
• Якщо кільце $K$ є комутативним, то для будь-якого модуля $M$ визначений підмодуль кручень

$Tor(M)=\{x\in M:\exists \alpha \in K,\alpha \not =0,\alpha x=0\}.$

Тоді фактор-модуль $M/Tor(M)$ є модулем без кручень.

Див. також

• Вільний модуль
• Плоский модуль
• Скрут (алгебра)

Джерела

• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Модуль без кручень, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Matlis, Eben (1972), Torsion-free modules, The University of Chicago Press, Chicago-London, ISBN 0-226-51073-5, MR 0344237