Ціле розширення кільця

Ціле розширення кільця — розширення B комутативного кільця R з одиницею таке, що будь-який елемент $x\in B$ є цілим над R, тобто задовольняє деякому рівнянню вигляду

$x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\,$

де $a_{i}\in R$. Дане рівняння називається рівнянням цілої залежності. Елемент x є цілим в R тоді і тільки тоді, коли виконується одна з двох еквівалентних умов:

1. R[x] є скінченно породженим R-модулем ;
2. існує точний R[x]-модуль, що є скінченно породженим R-модулем.

Приклади

• Цілий елемент є алгебраїчним над R.
• Якщо R — поле, то вірним є і зворотне твердження.
• Елементи поля комплексних чисел $\mathbb {C}$, цілі над кільцем $\mathbb {Z}$, називаються цілими алгебраїчними числами.
• Якщо кільце B є скінченно породженим модулем над R, то будь-який елемент $x\in B$ є цілим над R, тобто розширення є цілим (зворотне може не бути вірним).

Властивості

• Нехай кільце $A\supset R$ — комутативне, x і y — елементи A, цілі над R. Тоді x + y і xy також цілі над R, і множина всіх елементів з A, цілих над R, утворює підкільце, що називається цілим замиканням R в A.

* Якщо B є цілим над R і R'  — деяка R-алгебра, то $B\bigotimes R^{'}$ є цілим над R'.  

• Якщо В — ціле розширення кільця R і S — деяка мультиплікативна підмножина в R, локалізація S^-1B є цілим розширенням локалізації S^-1R.

Нехай $(a/s)\in S^{-1}B$, де $a\in B,\;s\in S$. Тоді, оскільки розширення є цілим, для $a$ виконується рівність $a^{n}+r_{1}a^{n-1}+\ldots +r_{n}=0$ для деяких $n\in \mathbb {N} ,\;r_{i}\in R$. Як наслідок $(a/s)^{n}+(r_{1}/s)(a/s)^{n-1}+\ldots +(r_{n}/s^{n})=0$ і оскільки всі $r_{i}/s^{i}\in S^{-1}R$, то дана рівність є рівнянням цілої залежності елемента $(a/s)$ над кільцем $S^{-1}R$. Оскільки елемент був обраний довільно, отримуємо необхідний результат.

• Нехай $B\supset A\supset R$ розширення $B\supset R$ є цілим тоді і лише тоді, коли цілими є обидва розширення $B\supset A$ і $A\supset R$.
• Якщо В — ціле розширення кільця R, J — ідеал кільця В і $I=J\cap R$. Тоді фактор-кільце $B/J$ буде цілим розширенням фактор-кільця $R/I$.

Позначимо ${\bar {a}}=a+J\in B/J$. Для $a$ виконується рівність $a^{n}+r_{1}a^{n-1}+\ldots +r_{n}=0$ для деяких $n\in \mathbb {N} ,\;r_{i}\in R$. Перейшовши до фактор-кільця за ідеалом J і ідентифікуючи $R/I$ як підкільце $B/J$, отримуємо рівність ${\bar {a}}^{n}+{\bar {r_{1}}}{\bar {a}}^{n-1}+\ldots +{\bar {r_{n}}}=0,\;{\bar {r_{i}}}\in R/I$, яка і є необхідним рівнянням цілої залежності.

• Нехай $A\supset R$ — ціле розширення областей цілісності. Тоді A є полем, якщо і тільки якщо R є полем.

Припустимо, що R є полем і $0\neq a\in A$. $a^{n}+r_{1}a^{n-1}+\ldots +r_{n}=0$ для деяких $n\in \mathbb {N} ,\;r_{i}\in R$. Степінь многочлена n можна вибрати мінімальним. Тоді $r_{n}\neq 0$, оскільки A є областю цілісності і для нього існує обернений елемент адже він належить полю R. Тому $r_{n}^{-1}(a^{n-1}+r_{1}a^{n-2}+\ldots +r_{n-1})a=1$, тож для $a$ існує обернений елемент рівний $r_{n}^{-1}(a^{n-1}+r_{1}a^{n-2}+\ldots +r_{n-1})$, що завершує першу частину доведення.

Навпаки, припустимо, що A є полем і $0\neq b\in R$. Тоді для $b$ як елемента поля A в цьому полі існує обернений елемент. Позначимо $a=b^{-1}.$ Для $a$ існує рівняння цілої залежності над R: $a^{n}+r_{1}a^{n-1}+\ldots +r_{n}=0$ для деяких $n\in \mathbb {N} ,\;r_{i}\in R$. Помноживши обидві сторони рівняння на $b^{n}$ отримаємо рівність $1+r_{1}b+\ldots +r_{n}b^{n}=0.$ Звідси бачимо, що елемент $-(r_{1}+\ldots +r_{n}b^{n-1})$ є оберненим до $b$ і належить R. Тобто R теж є полем.

• Нехай $A\supset R$ — ціле розширення кілець, $P'$ — простий ідеал кільця A і $P=P'\cap R.$ Тоді ідеал $P'$ є максимальним тоді і тільки тоді коли ідеал $P$ є максимальним.

Згідно попередніх властивостей фактор-кільце $A/P'$ є цілим розширенням фактор-кільця $R/P$. Оскільки обидва ідеали є простими, то ці фактор-кільця є областями цілісності. Згідно попередньої властивості $A/P'$ є полем тоді і тільки тоді, коли $R/P$ є полем і необхідний результат випливає з того, що ідеал є максимальним тоді і тільки тоді коли фактор-кільце по ньому є полем.

• Нехай $A\supset R$ — ціле розширення кілець, $P_{1}\subseteq P_{2}$ — прості ідеали кільця A і $P_{1}\cap R=P_{2}\cap R=P$. Тоді $P_{1}=P_{2}$.

Локалізація $A_{P}$ (по мультиплікативній множині $R\setminus P$) є цілим розширенням локалізації $R_{P}$. Також $P_{1}A_{P}\subseteq P_{2}A_{P}$ є простими ідеалами кільця $A_{P}$. Оскільки $P_{1}A_{P}\cap R_{P}=P_{2}A_{P}\cap R_{P}=PR_{P}$ і останній ідеал є максимальним в $R_{P}$ , то за попередньою властивістю $P_{1}A_{P}$ і $P_{2}A_{P}$ теж є максимальними ідеалами у $A_{P}$. Тому $P_{1}A_{P}=P_{2}A_{P}$, звідки також $P_{1}=P_{2}$.

• Область цілісності R називається цілозамкнутою, якщо ціле замикання R в своєму полі часток рівне R. Факторіальне кільце є цілозамкнутим. Кільце R є цілозамкнутим тоді і тільки тоді для будь-якого максимального ідеалу ${\mathfrak {p}}$ з R цілозамкнутим є локальне кільце $R_{\mathfrak {p}}$.

• Нехай A — ціле розширення R і $P$ — деякий простий ідеал кільця R. Тоді існує простий ідеал $P'$ кільця A, що лежить над $P$ (тобто такий, що $P=P'\cap R$).

Гомоморфізм включення $i:R\to A$ однозначно задає гомоморфізм включення локалізацій ${\bar {i}}:R_{P}\to A_{P}.$ Нехай M — довільний максимальний ідеал кільця $A_{P}$. З попередніх властивостей його перетин $M\cap R_{P}$ має бути максимальним ідеалом кільця $R_{P}$, тобто $M\cap R_{P}=PR_{P}.$

Розглянемо тепер гомоморфізми $p:R\to R_{P},\ {\bar {p}}:A\to A_{P}$ задані як $r\to r/1,a\to a/1\;\;r\in R,a\in A$. Тоді $p\circ {\bar {i}}=i\circ {\bar {p}}$.

Ідеал $P'={\bar {p}}^{-1}(M)$ є простим ідеалом кільця A для якого $P'\cap R=i^{-1}(P')=p^{-1}(PR_{P})=P$, тобто даний ідеал задовольняє вимоги теореми.

• Теорема про підняття. Нехай $A\supset R$ — ціле розширення кілець, $P_{1}\subset P_{2}\subset \ldots \subset P_{n}$ — послідовність простих ідеалів кільця R і $P_{1}'\subset P_{2}'\subset \ldots \subset P_{m}',\;\;(m<n)$— послідовність простих ідеалів кільця A, для яких $P_{i}=P_{i}'\cap R,\;\;i\in 1,...,m$. Тоді існують прості ідеали $P_{m+1}',\ldots ,P_{n}'$ кільця A, такі що $P_{1}'\subset P_{2}'\subset \ldots \subset P_{n}'$ і$P_{i}=P_{i}'\cap R,\;\;i\in 1,...,n$.

Очевидно теорему достатньо довести для n =2, m =1. Загальний результат тоді випливає за допомогою математичної індукції.

При тих же позначеннях, що і вище фактор-кільце $A/P_{1}'$ є цілим розширенням фактор-кільця $R/P_{1}$ і $P_{2}/P_{1}$ є простим ідеалом кільця $R/P_{1}$. Тому існує простий ідеал кільця $A/P_{1}'$, що лежить над $R/P_{1}$. Згідно властивостей фактор-кілець цей ідеал має вигляд $P_{2}'/P_{1}'$ де $P_{2}'$ є простим ідеалом кільця A для якого $P_{1}'\subset P_{2}'$. Очевидно, що $P_{2}=P_{2}'\cap R.$

• Нехай $A\supset R$ — ціле розширення кілець. Тоді $\dim A=\dim R$ і для довільних ідеалів ${\mathfrak {a}}\subset A$і ${\mathfrak {b}}\subset R$ для яких ${\mathfrak {a}}\cap B={\mathfrak {b}}$виконується нерівність $\operatorname {ht} {\mathfrak {a}}\leqslant \operatorname {ht} {\mathfrak {b}}.$
• Якщо L — скінченне розширення поля часток кільця R і В — ціле замикання R в L, то існує лише скінченна кількість простих ідеалів ${\mathfrak {B}}$ кільця В, що лежать над заданим простим ідеалом кільця R.

Література

• Ю. Дрозд. Вступ до алгебричної геометрії. ВНТЛ–Класика. Львів, 2004.
• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — Москва : Мир, 1972. — 160 с.(рос.)
• Huneke, Craig; Swanson, Irena (2006), Integral closure of ideals, rings, and modules, London Mathematical Society Lecture Note Series, 336, Cambridge, UK: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-68860-4