Наближення сильного зв'язку

Наближення сильного зв'язку — математичний метод розв'язку рівняння Шредінгера для знаходження енергетичних рівнів електронів у кристалічному твердому тілі в одноелектронному наближенні, в якому хвильова функція електрона будується як лінійна комбінація хвильових функцій атомів.

Гамільтоніан, що описує рух електрона в періодичному потенціалі в твердому тілі, можна записати у вигляді

${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta +\sum _{n}V(\mathbf {r} -\mathbf {a} _{n})$,

де $\hbar$ — приведена стала Планка, m — маса електрона, $V(\mathbf {r} -\mathbf {a} _{n})$ — потенціальна енергія електрона, зумовлена взаємодією з n-тим атомом, $\mathbf {a} _{n}$ — радіус-вектор n-го вузла.

Якщо функція $\phi (\mathbf {r} )$ є власною функцією гамільтоніана

${\hat {H}}_{0}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta +V(\mathbf {r} )$,

із енергією ${\mathcal {E}}_{0}$, то в рамках методу сильного зв'язку хвильову функцію кристала шукають у вигляді

$\psi _{\mathbf {k} }=\sum _{n}\phi (\mathbf {r} -\mathbf {a} _{n})e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {a} _{n}}$,

який задовільняє умові теореми Блоха

Наближення сильного зв'язку застосовують тоді, коли інтегралом перекриття функцій $\phi$, локалізованих на різних вузлах кристалічної ґратки можна знехтувати:

$\int \phi (\mathbf {r} -\mathbf {a} _{n})\phi (\mathbf {r} -\mathbf {a} _{n}^{\prime })dV\approx 0$ при $n\neq n^{\prime }$.

Тоді закон дисперсії для електронних рівнів запишеться у вигляді

${\mathcal {E}}(\mathbf {k} )={\mathcal {E}}_{0}+\sum _{n\neq n^{\prime }}w_{nn^{\prime }}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {a} _{n}}$,

де

$w_{nn^{\prime }}=\int \phi ^{*}(\mathbf {r} -\mathbf {a} _{n})V(\mathbf {r} -\mathbf {a} _{n^{\prime }})\phi (\mathbf {r} -\mathbf {a} _{n^{\prime }})dV$.

Аналогічну процедуру можна провести з будь-якою атомною орбіталлю. Як наслідок атомний енергетичний рівень ${\mathcal {E}}_{0}$ розщеплюється при взаємодії електрона з іншими атомами кристала у вузьку зону.

Наближення найближчих сусідів

Атомні орбіталі $\phi$ швидко спадають із віддаллю, тож величини $w_{nn^{\prime }}$, які визначають ймовірність перестрибування електрона з одного вузла кристалічної ґратки на інший, можна вважати відмінними від нуля тільки для найближчих вузлів.

Наприклад, для простої кубічної ґратки з періодом a закон дисперсії електронних станів запишеться у вигляді

${\mathcal {E}}(\mathbf {k} )={\mathcal {E}}_{0}+2w(\cos k_{x}a+\cos k_{y}a+\cos k_{z}a)$.

Величина 2w визначає ширину зони.

Застосування

Наближення сильного зв'язку широко використовується в квантовій теорії твердого тіла, а також у квантовій хімії, де аналогічний метод часто називають методом Гюкеля.

Див. також

• Наближення майже вільних електронів
• Модель зануреного атома

Джерела

• Crystal-Field Theory, Tight-Binding Method and Jahn-Teller Effect