Додатноозначена матриця

Дода́тно ви́значена ма́триця — окремий випадок ермітової матриці, є аналогом додатних чисел, якщо розглядати ермітові матриці як узагальнення дійсних чисел.

Поняття додатно визначеної матриці тісно пов'язане з поняттям дода́тно ви́значеної квадратичної форми.

Визначення

Ермітова матриця $M\!$ є додатно визначеною тоді і тільки тоді, коли вона задовольняє одну з наступних еквівалентних умов:

1. $\forall x\in \mathbb {C} ^{n},\;x\neq 0:\;\;x^{*}Mx>0$   (для ермітових матриць $x^{*}Mx\!$ — завжди дійсне число).
2. Всі власні значення $M\!$ є додатними числами.
3. Задовольняє критерій Сильвестра.
4. Сесквілінійна форма (білінійна форма для випадку дійсних чисел)

$\langle {\textbf {x,y}}\rangle ={\textbf {x}}^{*}M{\textbf {y}}$

задовольняє всім вимогам ермітового скалярного добутку (простого скалярного добутку для випадку дійсних чисел).

Невід'ємно визначена і від'ємно визначена матриці

• Ермітова матриця $M\!$ називається невід'є́мно ви́значеною (або іноді додатно напіввизначеною), якщо

$\forall x\in \mathbb {C} ^{n}:\;\;x^{*}Mx\geq 0$

Всі власні значення невід'ємно визначеної матриці — невід'ємні числа.

• Ермітова матриця $M\!$ називається від'є́мно ви́значеною, якщо

$\forall x\in \mathbb {C} ^{n},\;x\neq 0:\;\;x^{*}Mx<0$

Всі власні значення від'ємно визначеної матриці — від'ємні числа.

Невизначена

Ермітова матриця, яка не є ані додатно визначеною, ані від'ємновизначеною, ані додатно напіввизначеною, ані від'ємно напіввизначеною, називається неви́значеною. Невизначені матриці також характеризуються тим, що мають як додатні, так і від'ємні власні значення одночасно.

Властивості

• Всі додатньо визначені матриці мають повний ранг, їх визначник не рівний нулю і для них існує обернена матриця.
• Для будь-якої матриці $M\!$, матриці $MM^{*},M^{*}M\!$ — будуть невід'ємно визначені та матимуть однакові власні значення.

• Якщо $M,N\!$ — додатньо визначені матриці і $r>0\!$ — додатне число, тоді матриці

$rM,\;M+N,\;MNM,\;NMN\!$ — також є додатньо визначеними матрицями.

І якщо $\ MN=NM$ (є переставними), тоді $MN\!$ — теж є додатньо визначеною.

• Якщо $M\!$ — додатньо визначена матриця, тоді і тільки тоді існує єдина матриця B > 0, що B²=M.

$M>0\iff \exists !\;B>0:\;B^{2}=M\!$

Хоча можуть існувати не додатньо визначені матриці B, що виконуватиметься B²=M.

Див. також

• Теорія матриць
• Нормальна матриця
• Полярний розклад матриці

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 703 с.(укр.)
• Ланкастер П.. Теория матриц. — 2. — Москва : Наука, 1982. — 272 с.(рос.)