Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Квадратна матриця
з комплексними елементами може бути представлена як добуток унітарної матриці та невід'ємної ермітової матриці:
![{\displaystyle \ A=PU=UP_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6061b53120034e48cb5fd22624ffcfb305365820)
де
— невід'ємноозначені матриці,
— унітарна матриця.
Матриця
буде нормальною тоді і тільки тоді, коли
будуть переставними (що рівнозначно до
).
Для доведення використаємо сингулярний розклад матриці:
![{\displaystyle \ A=W\Sigma V^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c1249cecd3330e1bac1978d875a210419c8d7e0)
Оскільки:
![{\displaystyle \ AA^{*}=PUU^{*}P=P^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6e7f20e51156633cf142112f7fb7a2b9bd0459f)
![{\displaystyle \ A^{*}A=P_{1}UU^{*}P_{1}=P_{1}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8db8bb194fd992f5cd0664dcaedf6b28a6308f9)
матриці
однозначно визначаються як:
![{\displaystyle \ P={\sqrt {AA^{*}}}=W\Sigma W^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56d8aa65e4ba32c844cd5d318ec7e1f831a82324)
![{\displaystyle \ P_{1}={\sqrt {A^{*}A}}=V\Sigma V^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30fdd7a81f84fe566a2cc9c5cb4976abfa12b1a3)
Якщо матриця
— нормальна, то
за визначенням.
Використавши
отримаємо
Використавши
знову ж отримаємо
Якщо матриця
— нормальна, тоді матриці
— є переставними та нормальними, отже одночасно діагоналізуємими:
![{\displaystyle \exists \;Q,\Sigma ,\Phi :\quad Q\Sigma Q^{*}=P,\quad Q\Phi Q^{*}=U,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59d5f1325b598c15e2ba5ce1ef6878a849ee6542)
де
— унітарна матриця,
— невід'ємноозначена діагональна матриця,
— унітарна діагональна матриця.
Тоді
— власний розклад матриці.