Неозначуване поняття
У математиці, логіці, філософії та формальних системах неозначуване поняття (невизначене поняття, примітивне поняття, англ. primitive notion) — це початкове, базове поняття, визначення якого не дається. Часто це мотивується неформально, як правило, зверненням до інтуїції та повсякденного досвіду. В аксіоматиці відношеня між неозначуваними поняттями обмежені аксіомами.[1] Деякі автори називають останнє «визначенням» неозначуваних понять за допомогою однієї або кількох аксіом, але це може ввести в оману. Формальні теорії не можуть обійтися без неозначуваних понять, бо інакше з'явиться проблема нескінченної регресії.
Альфред Тарський пояснював роль неозначуваних понять так:[2]
Коли ми беремося за побудову деякої галузі знань, ми виділяємо, перш за все, певну невелику групу тверджень цієї галузі, які здаються нам відразу зрозумілими; твердження в цій групі ми називаємо ПРИМІТИВНИМИ ПОНЯТТЯМИ або НЕОЗНАЧУВАНИМИ ПОНЯТТЯМИ, і ми використовуємо їх, не пояснюючи їх значення. У той же час ми приймаємо принцип: не використовувати будь-які інші твердження галузі, що розглядається, якщо їх значення спочатку не було визначено за допомогою неозначуваних понять і таких тверджень галузі, значення яких було пояснено раніше. Речення, яке таким чином визначає значення твердження, називається ОЗНАЧЕННЯМ,...
Неминучий регрес до неозначуваних понять у теорії пізнання пояснив Гілберт де Б. Робінсон[en]:[3]
Для нематематика часто стає несподіванкою, що неможливо чітко визначити всі поняття, які використовуються. Це не поверхнева проблема, вона лежить в основі всіх знань; треба з чогось починати, а щоб досягти прогресу, треба чітко сформулювати ті елементи та відношення, які не визначені, і ті властивості, які сприймаються як належне.
Необхідність неозначуваних понять проілюстрована кількома аксіоматичними засадами математики:
- Теорія множин: Поняття множини є прикладом неозначуваного поняття. Як писала Мері Тайлз[en]: [4] «Визначення» «множини» — це не більше визначення, ніж спроба пояснити щось, що отримує статус примітивного, неозначуваного терміна. Як доказ вона цитує Фелікса Гаусдорфа: «Множина утворюється шляхом об’єднання окремих об’єктів у ціле.»
- Наївна теорія множин: порожня множина є неозначуваним поняттям. Стверджувати, що вона існує, було б неявною аксіомою.
- Арифметика Пеано: функція-наслідувач[en] та число нуль є неозначуваними поняттями. Оскільки арифметика Пеано корисна для вивчення властивостей чисел, об’єкти, які представляють неозначувані поняття, можуть не мати чіткого значення.[5]
- Аксіоматика: Неозначувані поняття залежатимуть від набору аксіом, обраних для системи. Алессандро Падоа[en] обговорював цей вибір на Міжнародному філософському конгресі[en] в Парижі в 1900 році. [6] Самі поняття можна не обов'язково викладати; Сьюзен Хаак (1978) пише: «Іноді кажуть, що набір аксіом дає неявне визначення своїх неозначуваних понять.»[7]
- Евклідова геометрія: Згідно з системою аксіом Гільберта, неозначуваними поняттями є точка, пряма, площина, конгруентність, лежати між (стосується точок) і належність (стосовно точок і прямих, точок і площин, прямих і площин).
- Евклідова геометрія: Згідно з системою аксіом Пеано неозначуваним поняттями є точка, відрізок і рух.
- ↑ Загалом, у формальній системі правила обмежують використання неозначуваних понять. Див. напр. MU (головоломка)[en] для нелогічної формальної системи.
- ↑ Альфред Тарський (1946) Вступ до логіки та методології дедуктивних наук, с. 118, Oxford University Press.
- ↑ Гілберт де Б. Робінсон[en] (1959) Основи геометрії, 4-те видання, с. 8, Видавництво Торонтського університету[en]
- ↑ Мері Тайлз[en] (2004) Філософія теорії множин, с. 99
- ↑ Філ Скотт (2008). Механізація основ геометрії Гільберта в Ізабель.
- ↑ Алессандро Падоа[en] (1900) Логічний вступ до будь-якої дедуктивної теорії в Жан Гейенорт (1967) A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931, Harvard University Press 118–23
- ↑ Хаак, Сьюзен (1978), Філософія логіки, Cambridge University Press, с. 245, ISBN 9780521293297