Аксіоматика Гільберта

Аксіоматика Гільберта — аксіоматика евклідової геометрії. Розроблена Гільбертом як повніша, ніж система аксіом Евкліда.

Неозначувані поняття

Неозначуваними поняттями в системі аксіом Гільберта є: точка, пряма, площина. Є також 3 елементарні відношення:

• Лежати між (стосується точок);
• Належати (стосовно точок і прямих, точок і площин, прямих і площин);
• Конгруентність (геометрична рівність; стосується відрізків, кутів, трикутників тощо). Позначається символом ≅.

Всі точки, прямі та площини вважаються різними, якщо не зазначено інше.

Аксіоми

Система з 20 аксіом поділена на 5 груп:

I. Аксіоми належності

• планіметричні:
  1. Якими б не були точки $A$ та $B$, існує пряма $l$, якій належать ці точки.
  2. Якими б не були дві різні точки $A$ та $B$, існує не більше однієї прямої, якій належать ці точки.
  3. Кожній прямій $\alpha$ належать принаймні дві точки. Існують принаймні три точки, що не належать одній прямій.
• стереометричні:
  1. Якими б не були три точки $A$, $B$ та $C$, що не належать одній прямій, існує площина $\alpha$, якій належать ці три точки. Кожній площині належить принаймні одна точка.
  2. Якими б не були три точки $A$, $B$ та $C$, що не належать одній прямій, існує не більше однієї площини, якій належать ці три точки.
  3. Якщо дві різні точки $A$ та $B$, що належать одній прямій $l$, належать деякій площині $\alpha$, то кожна точка, що належить прямій $l$, належить вказаній площині.
  4. Якщо існує одна точка $A$, яка належить двом площинам $\alpha$ та $\beta$, то існує принаймні ще одна точка $B$, яка належить обом цим площинам.
  5. Існують принамні чотири точки, які не належать одній площині.

II. Аксіоми порядку

1. Якщо точка $B$ прямої $l$ лежить між точками $A$ та $C$, то $A$, $B$ та $C$ — різні точки прямої, причому $B$ лежить також між точками $C$ та $A$.
2. Для довільних двох різних точок $A$ та $C$ на прямій, що ними визначається, існує принаймні одна точка $B$, що лежить між точками $A$ та $C$, та існує принаймні одна точка $D$, така що точка $C$ лежить між точками $A$ та $D$.
3. Серед довільних трьох точок, які лежать на одній прямій, існує одна і лише одна точка, що лежить між двома іншими.
4. Аксіома Паша. Якщо у довільній площині дано трикутник $ABC$ і довільну пряму, що не проходить через одну з його вершин і перетинає сторону $AB$, то ця пряма перетне одну і лише одну з двох інших сторін $AC$ чи $BC$.

III. Аксіоми конгруентності

1. Якщо $A$ та $B$ — дві точки прямої $l$, $A'$ — точка на цій же прямій чи на іншій прямій $l'$, то по задану від точки $A'$ сторону прямої $l'$ знайдеться, і при цьому лише одна, точка $B'$, така що відрізок $A'B'$ конгруентний відрізку $AB$. Кожен відрізок $AB$ конгруентний відрізку $BA$. 
2. Якщо відрізки $A'B'$ та $A''B''$ конгруентні одному і тому ж відрізку $AB$, то вони конгруентні між собою.
3. Нехай $AB$ та $BC$ — два відрізки прямої $l$, які не мають спільних внутрішніх точок, $A'B'$ і $B'C'$ — два відрізки тієї ж прямої чи іншої прямої $l'$, які також не мають спільних внутрішніх точок. Тоді якщо відрізок $AB$ конгруентний відрізку $A'B'$, а відрізок $BC$ конгруентний відрізку $B'C'$, то відрізок $AC$ конгруентний відрізку $A'C'$.
4. Якщо дано кут $\angle ABC$ та промінь $B'C'$, що лежить в площині даного кута, то існує рівно два промені $B'D$ та $B'E$, які також лежать в площині даного кута, такі, що $\angle DB'C'$ конгруентний $\angle ABC$ та $\angle EB'C'$ конгруентний $\angle ABC$. 
5. Якщо для двох трикутників $ABC$ та $A'B'C'$ мають місце конгруенції: $AB\cong A'B'$, $AC\cong A'C'$, $\angle BAC\cong \angle B'A'C'$, то завжди мають місце й конгруенції: $\angle ABC\cong \angle A'B'C'$, $\angle ACB\cong \angle A'C'B'$.

IV. Аксіома паралельності

Для аксіоми паралельності Гільберт обрав не евклідове формулювання, а еквівалентне йому та більш просте — аксіому Прокла:

1. Нехай $l$ — довільна пряма і $A$ — точка, що їй не належить; тоді в площині, яка визначається точкою $A$ й прямою $l$, можна провести не більше однієї прямої, яка проходить через $A$ і не перетинає $l$.

V. Аксіоми неперервності

1. Аксіома Архімеда. Нехай $A_{1}$ — довільна точка на прямій між довільними точками $A$ та $B$. Побудуємо точки $A_{2}$, $A_{3}$, $A_{4}$, … так, що точка $A_{1}$ знаходиться між точками $A$ та $A_{2}$, $A_{2}$ між $A_{1}$ та $A_{3}$, $A_{3}$ між $A_{2}$ та $A_{4}$ і т. д., при цьому відрізки $AA_{1}$, $A_{1}A_{2}$, $A_{2}A_{3}$, $A_{3}A_{4}$, . . . рівні між собою. Тоді завжди існує така точка $A_{n}$, що точка $B$ лежить між $A$ та $A_{n}$.
2. Аксіома повноти. Точки прямої (площини) утворюють таку систему точок, яку неможливо доповнити новими точками без порушення раніше встановлених аксіом.

21-а аксіома

Спочатку аксіоматика Гільберта містила ще й 21-у аксіому:

«Довільним чотирьом точкам на прямій можна присвоїти імена $A$, $B$, $C$, і $D$ так, щоб точка $B$ лежала між точками $A$ і $C$, а також між $A$ і $D$; точка $C$ — між $A$ і $D$, а також між $B$ і $D$».

Е. Г. Мур та Р. Л. Мур незалежно один від одного показали, що ця аксіома надлишкова і Е. Г. Мур в 1902 році опублікував цей результат у статті Transactions of the American Mathematical Society. Цю «аксіому» можна вивести з аксіом належності та порядку.

Повнота і несуперечність

Як довів Альфред Тарський (1951), аксіоматика Гільберта логічно повна, тобто будь-яке (формальне) висловлювання про геометричні поняття, що містяться в ній може бути доведено або спростоване. Вона також несуперечлива, якщо несуперечлива арифметика.

Історія

Аксіоматику евклідової геометрії було опубліковано Давидом Гільбертом у 1899 році у святковому томі «Festschrift», присвяченому відкриттю в Ґетінґені пам'ятника Карлу Фрідріху Гаусу та його другові фізику Вільгельму Веберу. Нині «Основи геометрії» перекладено багатьма мовами світу.

Інші системи аксіом

Догільбертові системи аксіом геометрії:

• Аксіоматика Евкліда
• Аксіоматика Паша
• Аксіоматика Пеано (включає поняття «рух»)
• Аксіоматика Веронезе
• М. Пієрі (1899)

Подібні гільбертовій:

• Аксіоматика Кагана (1902)
• Аксіоматика Веблена (1904)
• Аксіоматика Колмогорова
• Аксіоматика Александрова
• Аксіоматика Погорєлова

Сучасні аксіоматики:

• Аксіоматика Тарського
• Аксіоматика Біркгофа — містить «аксіому лінійки» та «аксіому транспортира». Її варіанти використовуються в більшості американських шкільних підручників, до неї близька аксіоматика Погорєлова.
• Аксіоматика Вейля — оперує неозначуваними поняттями точки та вільного вектора. Пряма та площина визначаються як множини точок.

Посилання

• Д. Гільберт. Основания геометрии. [Архівовано 28 липня 2011 у Wayback Machine.] Перевод с немецкого под редакцией А. В. Васильева. Л., «Сеятель», 1923. — 152 с.
• Герман Вейль. Давид Гильберт и его математические труды. [Архівовано 27 квітня 2015 у Wayback Machine.]
• GeoGebraКнига: Аксіоми геометрії (Гільберт) [Архівовано 4 червня 2016 у Wayback Machine.]