Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Немає
перевірених версій цієї сторінки; ймовірно, її ще
не перевіряли на відповідність правилам проекту.
Нерівність Бернуллі стверджує: якщо
x
≥
−
1
{\displaystyle x\geq -1}
(
1
+
x
)
n
≥
1
+
n
x
{\displaystyle (1+x)^{n}\geq 1+nx}
n
∈
N
0
.
{\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}.}
Однак, узагальнена нерівність Бернуллі стверджую наступне:
якщо
n
∈
(
−
∞
;
0
)
∪
(
1
;
+
∞
)
{\displaystyle n\in (-\infty ;0)\cup (1;+\infty )}
(
1
+
x
)
n
≥
1
+
n
x
{\displaystyle (1+x)^{n}\geq 1+nx}
якщо
n
∈
(
0
;
1
)
{\displaystyle n\in (0;1)\!\ }
(
1
+
x
)
n
≤
1
+
n
x
{\displaystyle (1+x)^{n}\leq 1+nx}
при цьому рівність досягається в двох випадках:
[
∀
x
≠
−
1
,
n
=
0
∀
n
≠
0
,
x
=
−
1
{\displaystyle \left[{\begin{matrix}\forall x\neq -1,n=0\\\forall n\neq 0,x=-1\end{matrix}}\right.}
Доведення
∀
n
∈
N
0
{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} _{0}}
математичної індукції по n . При n = 0 нерівність, очевидно, вірна. Припустимо, що вона вірна для n, доведемо це вірно для n+1:
(
1
+
x
)
n
+
1
=
(
1
+
x
)
(
1
+
x
)
n
≥
(
1
+
x
)
(
1
+
n
x
)
≥
(
1
+
n
x
)
+
x
=
1
+
(
n
+
1
)
x
{\displaystyle (1+x)^{n+1}=(1+x)(1+x)^{n}\geq (1+x)(1+nx)\geq (1+nx)+x=1+(n+1)x}
Проте наведене доведення не розповсюджується на інші
n
∈
R
{\displaystyle n\in \mathbb {R} }
узагальненої нерівності Бернуллі наведено нижче.
f
(
x
)
=
(
1
+
x
)
n
−
n
x
{\displaystyle f(x)=(1+x)^{n}-nx\!\ }
x
>
−
1
,
n
≠
0
,
n
≠
1
{\displaystyle x>-1,n\neq 0,n\neq 1\!\ }
f
′
(
x
)
=
n
(
1
+
x
)
n
−
1
−
n
=
0
{\displaystyle f'(x)=n(1+x)^{n-1}-n=0\!\ }
x
=
x
0
=
0
{\displaystyle x=x_{0}=0\!\ }
n
≠
0
{\displaystyle n\neq 0\!\ }
f
{\displaystyle f\!\ }
x
0
{\displaystyle x_{0}\!\ }
f
″
(
x
)
=
n
(
n
−
1
)
(
1
+
x
)
n
−
2
{\displaystyle f''(x)=n(n-1)(1+x)^{n-2}\!\ }
f
″
(
x
)
>
0
{\displaystyle f''(x)>0\!\ }
f
(
x
)
≥
f
(
x
0
)
{\displaystyle f(x)\geq f(x_{0})\!\ }
n
∈
(
−
∞
;
0
)
∪
(
1
;
+
∞
)
{\displaystyle n\in (-\infty ;0)\cup (1;+\infty )}
f
″
(
x
)
<
0
{\displaystyle f''(x)<0\!\ }
f
(
x
)
≤
f
(
x
0
)
{\displaystyle f(x)\leq f(x_{0})\!\ }
n
∈
(
0
;
1
)
{\displaystyle n\in (0;1)\!\ }
Значення функції
f
(
x
0
)
=
1
{\displaystyle f(x_{0})=1\!\ }
якщо
n
∈
(
−
∞
;
0
)
∪
(
1
;
+
∞
)
{\displaystyle n\in (-\infty ;0)\cup (1;+\infty )}
(
1
+
x
)
n
≥
1
+
n
x
{\displaystyle (1+x)^{n}\geq 1+nx}
якщо
n
∈
(
0
;
1
)
{\displaystyle n\in (0;1)\!\ }
(
1
+
x
)
n
≤
1
+
n
x
{\displaystyle (1+x)^{n}\leq 1+nx}
Неважко помітити, що за відповідних значень
x
0
=
0
{\displaystyle x_{0}=0\!\ }
n
=
0
,
n
=
1
{\displaystyle n=0,n=1\!\ }
f
(
x
)
=
f
(
x
0
)
{\displaystyle f(x)=f(x_{0})\!\ }
n
{\displaystyle n\!\ }
Q.E.D.
Нерівність також справедлива для
x
≥
−
2
{\displaystyle x\geq -2}
n
∈
N
0
{\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}
математичної індукції у випадку
x
∈
[
−
2
,
−
1
)
{\displaystyle x\in \left[-2,-1\right)}
Нерівність названа на честь швейцарського математика Якоба Бернуллі
