Нерівність Ердеша — Морделла

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Нерівність Ердеша-Морделла — наступна нерівність:

Якщо точка всередині трикутника , а основи перпендикулярів опущених з точки на сторони відповідно, то

Про нерівність

[ред. | ред. код]

Нерівність вперше була сформульована Палом Ердешем у журналі American Mathematical Monthly у 1935 році і у цьому ж році була доведена Морделлом. Найвідоміші доведення - це доведення Андже Авеза через теорему птолемея, Леона Банко через подібність трикутників і обрахунок кутів, Вілмоса Коморніка через площі, а також Луіса Морделла із використанням тригонометрії.

Доведення

[ред. | ред. код]

Для початку доведемо нерівність (єдина різниця між доведеннями перечисленими вище є, як вони доводять цю нерівність). Наведемо класичне доведення цієї нерівності.

Застосувавши теорему синусів, до нерівності отримаємо,

остання нерівність негайно слідує, з того, що величина проєкції відрізку на пряму не перевищуватиме величину самого відрізка.

Аналогічно можна довести, що та , додавши три нерівності і застосувавши між нерівність Коші, для двох елементів отримаємо

Схожі нерівності

[ред. | ред. код]

Часто на математичних олімпіадах пропонують нерівності, які схожі на нерівність Ердеша Морделла тобто теж пов'язують величини

Зокрема нерівність, що була доведена Луісом Морделлом у 1962:

Такі нерівності часто доводять використовуючи, що

і

Класичні нерівності в трикутнику

[ред. | ред. код]

Перша нерівність була доведена нами раніше, доведемо другу.

Нехай основи перпендикулярів опущених, з вершин на сторони . — площа трикутника.

Зауважимо, що і отримавши з останнього і поклавши його в перше отримаємо

Джерела

[ред. | ред. код]
  • Kiran S. Kedlaya (version of 17 Jan 2006). Geometry Unbound (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 8 червня 2011. Процитовано 29 жовтня 2010.