У математиці, для послідовності чисел
нескінченний добуток
![{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }a_{n}=a_{1}a_{2}a_{3}\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04396b023ddc46549be50c55ba333289adf14352)
визначається, як границя часткових добутків
при
. Добуток називається збіжним, коли границя існує і не рівна нулю. В іншому випадку добуток називається розбіжним. Випадок, в якому границя рівна нулю, розглядається окремо, для отримання результатів, аналогічних результатам для рядів.
Якщо добуток є збіжним, тоді необхідно виконується гранична рівність
. Отже логарифм
визначений для всіх
, за винятком скінченного числа значень, існування яких не впливає на збіжність. Якщо всі члени послідовності
додатні то виконується рівність:
![{\displaystyle \ln \prod _{n=1}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }\ln a_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a30404f7a4e8defaab09c807f2730fe198c3152)
у якому збіжність ряду в правій частині рівносильна збіжності нескінченного добуткуу в лівій. Це дозволяє переформулювати критерій збіжності ряду в критерій збіжності нескінченних добутків. Для добутків, таких, що для будь-якого
, позначимо
, тоді
і
, звідки слідує нерівність:
![{\displaystyle 1+\sum _{n=1}^{N}p_{n}\leqslant \prod _{n=1}^{N}\left(1+p_{n}\right)\leqslant \exp \left(\sum _{n=1}^{N}p_{n}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c78f1d680b3c47c41e63ac1f847548eb7e71646f)
яка показує, що нескінченний добуток
збігається тоді і тільки тоді, коли збігається ряд
.
У випадку
для будь-якого
збіжність нескінченного добутку
також еквівалентна збіжності ряду
.
У загальному випадку збіжность рядів
і
є достатньою умовою збіжності
.
Найбільш відомі приклади нескінченних добутків, деякі формули для
, такі як наступні два нескінченні добутки, доведені відповідно Франсуа Вієтом і Джоном Валлісом
![{\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/471259d8063f909988b7457a3e2d9c62f73efb01)
![{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4388daf401926a5446c92f945023851484692740)
Представлення функції у вигляді нескінченного добутку
[ред. | ред. код]
Один важливий результат про нескінченні добутки — те, що будь-яка ціла функція
, з коренями
, де точка 0 — корінь порядку
, може бути представлена у вигляді нескінченного добутку виду
,
де
— деяка ціла функція, а невід'ємні цілі числа
підібрані так, щоб ряд
сходився.
При
відповідна множнику номер
експонента опускається (вважається рівною
).
Синус
|
|
|
Гамма-функція
|
|
|
Сигма-функція Вейєрштрасса
|
|
|
Дзета-функція Рімана
|
|
де pn — послідовність простих чисел.
|