Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Немає
перевірених версій цієї сторінки; ймовірно, її ще
не перевіряли на відповідність правилам проекту.
Формула Валліса , виведена 1655 року Джоном Валлісом , стверджує:
∏
n
=
1
∞
(
2
n
2
n
−
1
⋅
2
n
2
n
+
1
)
=
2
1
⋅
2
3
⋅
4
3
⋅
4
5
⋅
6
5
⋅
6
7
⋅
8
7
⋅
8
9
⋯
=
π
2
.
{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}.}
Валліс вивів нескінченний добуток методом порівняння визначених інтегралів
∫
0
π
sin
n
x
d
x
{\displaystyle \int \limits _{0}^{\pi }\sin ^{n}x\,dx}
для парних і непарних n , як показано нижче. Оскільки на той час математичний аналіз, зокрема теорія збіжності, не мав достатнього розвитку і не було відомо про його зв'язок із площами фігур, дослідження вважалося складним і незавершеним. Як згодом виявилось, формула Валліса є простим наслідком формули Ейлера для синуса .
sin
x
x
=
∏
n
=
1
∞
(
1
−
x
2
n
2
π
2
)
{\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)}
Нехай x = π/2:
⇒
2
π
=
∏
n
=
1
∞
(
1
−
1
4
n
2
)
{\displaystyle \Rightarrow {\frac {2}{\pi }}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{4n^{2}}}\right)}
⇒
π
2
=
∏
n
=
1
∞
(
4
n
2
4
n
2
−
1
)
=
∏
n
=
1
∞
(
2
n
)
(
2
n
)
(
2
n
−
1
)
(
2
n
+
1
)
=
2
1
⋅
2
3
⋅
4
3
⋅
4
5
⋅
6
5
⋅
6
7
⋅
8
7
⋅
8
9
⋯
{\displaystyle {\begin{aligned}\Rightarrow {\frac {\pi }{2}}&{}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}\right)\\&{}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots \end{aligned}}}
Нехай:
I
(
n
)
=
∫
0
π
sin
n
x
d
x
{\displaystyle I(n)=\int \limits _{0}^{\pi }\sin ^{n}x\,dx}
u
=
sin
n
−
1
x
⇒
d
u
=
(
n
−
1
)
sin
n
−
2
x
cos
x
d
x
{\displaystyle u=\sin ^{n-1}x\Rightarrow du=(n-1)\sin ^{n-2}x\cos x\,dx}
d
v
=
sin
x
d
x
⇒
v
=
−
cos
x
{\displaystyle dv=\sin x\,dx\Rightarrow v=-\cos x}
⇒
I
(
n
)
=
∫
0
π
sin
n
x
d
x
=
∫
0
π
u
d
v
{\displaystyle \Rightarrow I(n)=\int \limits _{0}^{\pi }\sin ^{n}x\,dx=\int \limits _{0}^{\pi }u\,dv}
=
u
v
|
x
=
0
x
=
π
−
∫
0
π
v
d
u
{\displaystyle =uv|_{x=0}^{x=\pi }-\int \limits _{0}^{\pi }v\,du}
=
0
−
(
n
−
1
)
∫
0
π
−
cos
2
x
sin
n
−
2
x
d
x
,
n
>
1
{\displaystyle =0-(n-1)\int \limits _{0}^{\pi }-\cos ^{2}x\sin ^{n-2}x\,dx,\quad n>1}
=
(
n
−
1
)
∫
0
π
(
1
−
sin
2
x
)
sin
n
−
2
x
d
x
{\displaystyle =(n-1)\int \limits _{0}^{\pi }(1-\sin ^{2}x)\sin ^{n-2}x\,dx}
=
(
n
−
1
)
I
(
n
−
2
)
−
(
n
−
1
)
I
(
n
)
{\displaystyle =(n-1)I(n-2)-(n-1)I(n)}
I
(
n
)
=
(
n
−
1
)
I
(
n
−
2
)
−
(
n
−
1
)
I
(
n
)
{\displaystyle I(n)=(n-1)I(n-2)-(n-1)I(n)}
⇒
I
(
n
)
=
n
−
1
n
I
(
n
−
2
)
{\displaystyle \Rightarrow I(n)={\frac {n-1}{n}}I(n-2)}
I
(
1
)
=
∫
0
π
sin
x
d
x
=
−
cos
x
|
0
π
=
(
−
cos
π
)
−
(
−
cos
0
)
=
−
(
−
1
)
−
(
−
1
)
=
2
{\displaystyle I(1)=\int \limits _{0}^{\pi }\sin x\,dx=-\cos x|_{0}^{\pi }=(-\cos \pi )-(-\cos 0)=-(-1)-(-1)=2}
I
(
0
)
=
∫
0
π
d
x
=
x
|
0
π
=
π
{\displaystyle I(0)=\int \limits _{0}^{\pi }\,dx=x|_{0}^{\pi }=\pi }
I
(
2
n
+
1
)
=
∫
0
π
sin
2
n
+
1
x
d
x
=
2
n
2
n
+
1
I
(
2
n
−
1
)
=
2
n
2
n
+
1
⋅
2
n
−
2
2
n
−
1
I
(
2
n
−
3
)
{\displaystyle I(2n+1)=\int \limits _{0}^{\pi }\sin ^{2n+1}x\,dx={\frac {2n}{2n+1}}I(2n-1)={\frac {2n}{2n+1}}\cdot {\frac {2n-2}{2n-1}}I(2n-3)}
Повторюючи,
=
2
n
2
n
+
1
⋅
2
n
−
2
2
n
−
1
⋅
2
n
−
4
2
n
−
3
⋅
⋯
⋅
6
7
⋅
4
5
⋅
2
3
I
(
1
)
=
2
∏
k
=
1
n
2
k
2
k
+
1
{\displaystyle ={\frac {2n}{2n+1}}\cdot {\frac {2n-2}{2n-1}}\cdot {\frac {2n-4}{2n-3}}\cdot \cdots \cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {2}{3}}I(1)=2\prod _{k=1}^{n}{\frac {2k}{2k+1}}}
I
(
2
n
)
=
∫
0
π
sin
2
n
x
d
x
=
2
n
−
1
2
n
I
(
2
n
−
2
)
=
2
n
−
1
2
n
⋅
2
n
−
3
2
n
−
2
I
(
2
n
−
4
)
{\displaystyle I(2n)=\int \limits _{0}^{\pi }\sin ^{2n}x\,dx={\frac {2n-1}{2n}}I(2n-2)={\frac {2n-1}{2n}}\cdot {\frac {2n-3}{2n-2}}I(2n-4)}
Повторюючи,
=
2
n
−
1
2
n
⋅
2
n
−
3
2
n
−
2
⋅
2
n
−
5
2
n
−
4
⋅
⋯
⋅
5
6
⋅
3
4
⋅
1
2
I
(
0
)
=
π
∏
k
=
1
n
2
k
−
1
2
k
{\displaystyle ={\frac {2n-1}{2n}}\cdot {\frac {2n-3}{2n-2}}\cdot {\frac {2n-5}{2n-4}}\cdot \cdots \cdot {\frac {5}{6}}\cdot {\frac {3}{4}}\cdot {\frac {1}{2}}I(0)=\pi \prod _{k=1}^{n}{\frac {2k-1}{2k}}}
sin
2
n
+
1
x
⩽
sin
2
n
x
⩽
sin
2
n
−
1
x
,
0
⩽
x
⩽
π
{\displaystyle \sin ^{2n+1}x\leqslant \sin ^{2n}x\leqslant \sin ^{2n-1}x,\quad 0\leqslant x\leqslant \pi }
⇒
I
(
2
n
+
1
)
⩽
I
(
2
n
)
⩽
I
(
2
n
−
1
)
{\displaystyle \Rightarrow I(2n+1)\leqslant I(2n)\leqslant I(2n-1)}
⇒
1
⩽
I
(
2
n
)
I
(
2
n
+
1
)
⩽
I
(
2
n
−
1
)
I
(
2
n
+
1
)
=
2
n
+
1
2
n
{\displaystyle \Rightarrow 1\leqslant {\frac {I(2n)}{I(2n+1)}}\leqslant {\frac {I(2n-1)}{I(2n+1)}}={\frac {2n+1}{2n}}}
За теоремою про три послідовності :
⇒
lim
n
→
∞
I
(
2
n
)
I
(
2
n
+
1
)
=
1
{\displaystyle \Rightarrow \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {I(2n)}{I(2n+1)}}=1}
lim
n
→
∞
I
(
2
n
)
I
(
2
n
+
1
)
=
π
2
lim
n
→
∞
∏
k
=
1
n
(
2
k
−
1
2
k
⋅
2
k
+
1
2
k
)
=
1
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {I(2n)}{I(2n+1)}}={\frac {\pi }{2}}\lim _{n\rightarrow \infty }\prod _{k=1}^{n}\left({\frac {2k-1}{2k}}\cdot {\frac {2k+1}{2k}}\right)=1}
⇒
π
2
=
∏
k
=
1
∞
(
2
k
2
k
−
1
⋅
2
k
2
k
+
1
)
=
2
1
⋅
2
3
⋅
4
3
⋅
4
5
⋅
6
5
⋅
6
7
⋅
⋯
{\displaystyle \Rightarrow {\frac {\pi }{2}}=\prod _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2k}{2k-1}}\cdot {\frac {2k}{2k+1}}\right)={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot \cdots }