"Векторні конуси" загального кутового моменту J (фіолетовий), орбіти L (синій) та спіна S (зелений). Конуси виникають через квантову невизначеність між вимірюванням компонентів кутового моменту (see below ).
У цій стоячій хвилі на круговій струні коло розбивається рівно на 8 довжин хвилі . Така стояча хвиля може мати 0, 1, 2 або будь-яке ціле число довжин хвиль по колу, але вона не може мати неціле число довжин хвиль, таких як 8.3. У квантовій механіці кутовий момент квантується з подібної причини.
Ілюстрація векторної моделі орбітального кутового моменту.
Різні типи оператори обертання. У верхній рамці зображено дві частинки, зі спіновими станами, схематично позначеними стрілками. Оператор R , пов'язаний з J , обертає всю систему. Оператор R просторовий , пов'язаний з L , обертає положення частинок, не змінюючи їх внутрішніх спінових станів. Оператор R внутрішній , пов'язаний з S , обертає внутрішні спінові стани частинок, не змінюючи їх положення.
Опера́тор моме́нту кі́лькості ру́ху або кутового моменту — це квантово-механічний аналог класичного поняття моменту кількості руху .
Для побудови квантово-механічного оператора кутового моменту частки виходять із класичного виразу
L
=
[
r
×
p
]
{\displaystyle \mathbf {L} =[\mathbf {r} \times \mathbf {p} ]}
,
де
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
— радіус вектор частки, а
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
— її імпульс .
При переході до квантової механіки проводять заміну імпульсу на квантовомеханічий оператор імпульсу
−
i
ℏ
∇
{\displaystyle -i\hbar \nabla }
. Тоді компоненти оператора кількості руху мають наступну форму
L
^
x
=
−
i
ℏ
(
y
∂
∂
z
−
z
∂
∂
y
)
{\displaystyle {\hat {L}}_{x}=-i\hbar \left(y{\frac {\partial }{\partial z}}-z{\frac {\partial }{\partial y}}\right)}
,
L
^
y
=
−
i
ℏ
(
z
∂
∂
x
−
x
∂
∂
z
)
{\displaystyle {\hat {L}}_{y}=-i\hbar \left(z{\frac {\partial }{\partial x}}-x{\frac {\partial }{\partial z}}\right)}
,
L
^
z
=
−
i
ℏ
(
x
∂
∂
y
−
y
∂
∂
x
)
{\displaystyle {\hat {L}}_{z}=-i\hbar \left(x{\frac {\partial }{\partial y}}-y{\frac {\partial }{\partial x}}\right)}
.
Визначені таким чином оператори є ермітовими .
Компоненти оператора кутового моменту задовільняють наступним комутаційним співвідношенням
[
L
^
x
,
L
^
y
]
=
i
ℏ
L
^
z
{\displaystyle \left[{\hat {L}}_{x},{\hat {L}}_{y}\right]=i\hbar {\hat {L}}_{z}}
,
[
L
^
y
,
L
^
z
]
=
i
ℏ
L
^
x
{\displaystyle \left[{\hat {L}}_{y},{\hat {L}}_{z}\right]=i\hbar {\hat {L}}_{x}}
,
[
L
^
z
,
L
^
x
]
=
i
ℏ
L
^
y
{\displaystyle \left[{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{x}\right]=i\hbar {\hat {L}}_{y}}
.
Оскільки вони не комутують між собою, то згідно із принципом невизначеності
не можуть бути виміряні одночасно. Якщо відоме точне значення одного з них, то невизначеність
двох інших буде абсолютною.
З огляду на некомутативність компонент, вони не мають спільних власних функцій .
В сферичній системі координат найпростіший вигляд має компонента
L
z
{\displaystyle L_{z}}
, тож
здебільшого шукають її власні функції.
Власними функціями компоненти
L
z
{\displaystyle L_{z}}
є комплексні експоненти виду
e
i
m
φ
{\displaystyle e^{im\varphi }}
, де m — ціле число, яке пробігає значення від
−
∞
{\displaystyle -\infty }
до
∞
{\displaystyle \infty }
.
L
^
z
e
i
m
φ
=
−
i
ℏ
∂
∂
φ
e
i
m
φ
=
ℏ
m
e
i
m
φ
{\displaystyle {\hat {L}}_{z}e^{im\varphi }=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \varphi }}e^{im\varphi }=\hbar me^{im\varphi }}
.
Власні значення оператора
L
^
z
{\displaystyle {\hat {L}}_{z}}
дорівнюють
ℏ
m
{\displaystyle \hbar m}
. Число m називається магнітним квантовим числом . Така назва зумовлена тим, що вперше магнітне квантове число ввели для інтерпретації розщеплення спектральних ліній у магнітному полі (Зееманівське розщеплення ).
Важливе значення у квантовій механіці посідає оператор квадрата кутового моменту
L
^
2
=
L
^
x
2
+
L
^
y
2
+
L
^
z
2
{\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}^{2}={\hat {L}}_{x}^{2}+{\hat {L}}_{y}^{2}+{\hat {L}}_{z}^{2}}
.
В сферичні системі координат він має вигляд
L
^
2
=
−
ℏ
2
(
1
sin
θ
∂
∂
θ
sin
θ
∂
∂
θ
+
1
sin
2
θ
∂
2
∂
φ
2
)
{\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}^{2}=-\hbar ^{2}\left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right)}
.
Цей оператор комутує з будь-якою з компонент оператора кутового моменту.
Власні функції та власні значення оператора квадрата кутового моменту[ ред. | ред. код ]
Завдяки комутативності оператора квадрата кутового моменту
L
^
2
{\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}^{2}}
із
L
^
z
{\displaystyle {\hat {L}}_{z}}
, ці два оператори мають спільну систему власних функцій. Квадрат кутового моменту може бути визначеними одночасно із z-вою компонентою.
Власними функціями оператора квадрата кутового моменту є сферичні гармоніки
Y
l
,
m
(
θ
,
φ
)
{\displaystyle Y_{l,m}(\theta ,\varphi )}
.
Власні значення оператора квадрата кутового моменту дорівнюють
ℏ
2
l
(
l
+
1
)
{\displaystyle \hbar ^{2}l(l+1)}
,
де l — ціле число, яке пробігає значення від нуля до нескінченості. Це квантове число називається
орбітальним квантовим числом .
L
^
2
Y
(
θ
,
φ
)
=
ℏ
2
l
(
l
+
1
)
Y
(
θ
,
φ
)
{\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}^{2}Y(\theta ,\varphi )=\hbar ^{2}l(l+1)Y(\theta ,\varphi )}
.
Із теорії сферичних гармонік відомо, що магнітне квантове число m за абсолютною величиною не може бути більшим за l. Тому кожному орбітальному квантовому числу l відповідає 2l+1 різних магнітних квантових числа: m = -l, -l+1…l-1, l.
Вакарчук І. О. Квантова механіка. — 4-е видання, доповнене. — : ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 872 с.
Юхновський І. Р. Основи квантової механіки. — : Либідь, 2002. — 392 с.
Биденхарн Л., Лаук Дж. Угловой момент в квантовой физике. Теория и приложения. — : Мир, 1984. — Т. 1. — 302 с.
Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — : Наука, 1976. — 664 с.
Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. — : Мир, 1990. — 720 с.
Варшалович Д. А., Москалев А. Н., Херсонский В. К. Квантовая теория углового момента . — : Наука, 1975. — 441 с.
Зар Р. Теория углового момента. О пространственных эффектах в физике и химии. — : Мир, 1993. — 352 с.