Ермітів оператор

Обмежений лінійний оператор $A:H\to H$ у комплексному гільбертовому просторі називається ермітовим, якщо для всіх $u,v\in H$ виконується тотожність

$(Au,v)=(u,Av)\,,$

що записується також як $A=A^{\dagger }.$ Ермітові оператори відіграють важливу роль у квантовій механіці. У рівнянні Шредінгера вимірюваним фізичним величинам відповідають ермітові (насправді, самоспряжні) оператори у гільбертовому просторі векторів стану.

Характеризації ермітових операторів

Наступні властивості обмеженного лінійного оператора $A$ у комплексному гільбертовому просторі $H$ виконуються тоді і тільки тоді, коли цей оператор — ермітовий.

• Матриця $A$ відносно довільного ортогонального базису $H$ є ермітовою.
• В $H$ існує ортогональний базис, відносно якого матриця $A$ є ермітовою.
• В $H$ існує ортогональний базис, відносно якого матриця $A$ є діагональною з дійсними елементами.
• В $H$ існує ортогональний базис утворений з власних векторів оператора $A$ з дійсними власними значеннями.

Див. також

Самоспряжний оператор

Джерела

• Гельфанд І. М. Лекції з лінійної алгебри. — 2025. — 248 с.(укр.)
• Банах С. Курс функціонального аналізу (лінійні операції). — К. : Радянська школа, 1948. — 216 с.(укр.)
• Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. — 3-є. — Х. : Вища школа, 1977. — Т. 1. — 316 с.(рос.)
• Березанський Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель З. Г. Функціональний аналіз : [укр.] = Functional Analysis, Vol. I, Kyiv : Institute of Mathematics, 2010. : [пер. з англ.] : підручник. — Л. : Видавець Чижиков І. Е., 2014. — С. 559. — (Університетська бібліотека). — ISBN 978-966-2645-12-5.
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)