Парадокс Буралі-Форті

Парадокс Буралі-Форті — в теорії множин демонструє, що припущення про існування множини всіх порядкових чисел веде до суперечностей і, отже, суперечливою є теорія, в якій побудова такої множини можлива (1897).

Формулювання

У математичній літературі зустрічаються різні формулювання, що спираються на різну термінологію і можливий набір відомих теорем. Ось одне з можливих формулювань.

Припустимо, що $\Omega$ - множина усіх порядкових чисел, тоді множина-сума ∑($\Omega$) зберігає властивості порядкового числа і є порядковим числом. Уявімо деяке число ∑($\Omega$) + 1; тоді (∑($\Omega$) + 1) > ∑($\Omega$). Проте оскільки ∑($\Omega$) є порядковим числом і зберігає властивості порядкових чисел, то ∑($\Omega$) + 1 є елементом $\Omega$, а отже (∑($\Omega$) + 1) < ∑($\Omega$). Це твердження суперечить встановленій нами раніше нерівності (∑($\Omega$) + 1) > ∑($\Omega$), тому усе твердження є суперечливим, а отже суперечливою є і теорія, що допускає таке твердження.

Історія

Парадокс був виявлений Чезаре Буралі-Форті в 1897 року і виявився одним з перших парадоксів, які показали, що наївна теорія множин суперечлива, а отже, непридатна для потреб математики. Неіснування безлічі всіх порядкових чисел суперечить концепції наївної теорії множин, яка дозволяє побудову множин з довільною властивістю елементів, тобто термів виду «множина всіх $x$ таких, що $P$» ($\{x\mid P\}$).

Сучасна аксіоматична теорія множин накладає суворі обмеження на вид умови $P$, за допомогою якого можна утворювати множини. У аксіоматичних системах типу Геделя — Бернайса дозволяється вираження терми $\{x\mid P\}$ для довільних $P$, але із застереженням, що він може виявитися не множиною, а класом.

Див. також

• Парадокс Кантора
• Парадокс Расселла

Джерела

• Хаусдорф Ф. Теория множеств. — Москва ; Ленинград : ОНТИ, 1937. — 304 с. — ISBN 978-5-382-00127-2.(рос.)

• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)