Порядкове число

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Представлення порядкових чисел до ωω. Кожен оберт спіралі представляє степінь ω

Порядкове число (трансфінітне число, ординал) — в теорії множин, узагальнення натурального числа відмінне від цілих чисел та кардинальних чисел. Введені Георгом Кантором в 1897 для класифікації цілком впорядкованих множин. Відіграють ключову роль в доведенні багатьох теорем теорії множин, особливо разом з пов'язаним з ними принципом трансфінітної індукції.

Означення

[ред. | ред. код]

Одне з сучасних формулювань визначення трансфінітних чисел по фон Нейману:

Множина називається ординалом, якщо вона транзитивна (тобто кожен її елемент є одночасно її підмножиною) і цілком впорядкована відношенням належності .

Властивості

[ред. | ред. код]
  •  — ординал. Його також позначають як 0.
  • Якщо  — ординал, то кожен елемент  — ординал.
  • Якщо  — ординал, то  — ординал. Його позначають як .
  • Не для кожного ординала існує ординал такий, що . Ординали, які не можна представити як суму іншого ординала й одиниці, називають граничними[en], решту — неграничними. (Утім, зазвичай також вважають неграничним, хоча є різні тлумачення.)
  • Скінченні ординали (як і скінченні кардинали) збігаються з натуральними числами (тут під множиною натуральних чисел мається на увазі 0 = {0, 1, 2, …}, тобто включаючи нуль).
  • Множині натуральних чисел відповідає найменший нескінченний ординал та найменший нескінченний кардинал .
  • Існує тільки один зліченний кардинал , на відміну від незліченної множини зліченних ординалів {ω, ω+1, ω+2, …, ω·2, ω·2+1, …, ω², …, ω³, …, ωω, …, ωωω, …, ε0, …}
  • Множина всіх зліченних ординалів є першим незліченним ординалом , якому відповідає кардинал .
  • Довільна множина ординалів цілком упорядкована відношенням , при цьому  — найменший елемент довільної множини ординалів,  — ординал, не менший за довільний ординал .
  • Не існує множини всіх ординалів. Сукупність ординалів є класом.

Арифметика ординалів

[ред. | ред. код]
  1. Додавання не комутативне, зокрема: не дорівнює , тому, що .
  2. Додавання асоціативне: .

Див. також

[ред. | ред. код]

Література

[ред. | ред. код]