Повний алгебричний многовид

В алгебричній геометрії абстрактний алгебричний многовид $X$ називається повним, якщо він є відокремлюваним (тобто діагональ є замкнутою підмножиною у $X\times X$), і якщо для будь-якого многовида $Y$ проєкція $\pi _{Y}\colon X\times Y\to Y$ із добутку алгебричних многовидів із топологією Зариського на другий множник є замкнутим морфізмом, тобто образ довільної замкнутої множини теж є замкнутою множиною. Повні многовиди є певною мірою аналогом в алгебричній геометрії компактних просторів.

Властивості

• Замкнутий підмноговид повного многовида теж є повним многовидом.
• Прямий добуток повних многовидів теж є повним многовидом.
• Алгебричний многовид є повним тоді і тільки тоді, коли всі його незвідні компоненти є повними.
• Алгебричний многовид $X$ є повним тоді і тільки тоді коли для всіх $m\geqslant 1$ проєкція $\pi _{\mathbb {A} ^{m}}\colon X\times \mathbb {A} ^{m}\to \mathbb {A} ^{m}$ є замкнутим морфізмом.

Нехай спочатку $Y$ — афінний многовид, тобто замкнена підмножина деякого афінного простору $\mathbb {A} ^{m}$. Тоді будь-яка замкнена підмножина $Z\subset X\times Y$ також замкнена в $X\times \mathbb {A} ^{m}$, отже, $\pi _{\mathbb {A} ^{m}}(Z)=\pi _{Y}$ замкнена в $Y$.

Далі, для будь-якого многовиду $Y$ існує відкрите покриття $Y=\bigcup _{i}Y_{i}$ , де $Y_{i}$ — афінні многовиди. Якщо $Z$ — замкнена підмножина в $X\times Y$ , то $Z=\bigcup _{i}Z_{i}$ , де $Z_{i}=Z\cap (X\times Y_{i})$ , і $\pi _{Y}(Z)\cap Y_{i}=\pi _{Y}(Z_{i})$. З попереднього, кожна $\pi _{Y}(Z_{i})$ є замкнутою в $Y_{i}$, а тому pr $\pi _{Y}(Z)$ замкнута в $Y$ . Отже, відображення $\pi _{Y}$ замкнуте.

• Образ повного многовида $X$ при регулярному відображенні у відокремлюваний многовид $Y$є замкнутою множиною і повним многовидом. Зокрема, регулярна функція на повному зв'язаному многовиді є константою.

Оскільки замкнута підмножина повного многовида є повною достатньо довести, що образ $f$ є замкнутим в $Y$. Позначимо через $\Gamma \subseteq X\times Y$ графік відображення $f$: $\Gamma =\{(p,f(p))|p\in X\}$. Оскільки $Y$ є відокремлюваним многовидом то цей графік є замкнутою множиною. Тому $f(X)=\pi _{Y}(\Gamma )$ теж є замкнутою множиною.

Оскільки $f(X)$ є замкнутою множиною алгебричного многовида, то він теж є алгебричним многовидом. Тоді, ввівши морфізм $f\times \operatorname {Id} :X\times Y\to f(X)\times Y$, для довільної замкнутої множини $Z\subset f(X)\times Y$ множина $(f\times \operatorname {Id} )^{-1}Z$ є замкнутою у $X\times Y$ і $\pi _{Y}(f\times \operatorname {Id} )^{-1}Z=\pi _{Y}Z$, де кожна проєкція визначена на відповідній множині. Оскільки $X$ є повним многовидом то $\pi _{Y}(f\times \operatorname {Id} )^{-1}Z$, а тому і $\pi _{Y}Z$ є замкнутою множиною.

Нехай $f:X\to K$ — регулярна функція. Ототожнюючи $K$ з $\mathbb {A} _{0}^{1}\subset \mathbb {P} ^{n}$, можна розглядати $f$ як морфізм у $\mathbb {P} ^{n}$. Отже, $\operatorname {Im} f$ є замкнутою множиною, що не збігається з усім $\mathbb {P} _{1}$, і тому $\operatorname {Im} f=\{a_{1},a_{2},...,a_{k}\}$ . Тоді $X=\bigsqcup _{i=1}^{k}f^{-1}(a_{i})$ (диз'юнктне об'єднання прообразів). Оскільки всі $f^{-1}(a_{i})$ замкнені, а $X$ зв'язаний, $m=1$ , тобто $f$ є константою.

• Якщо квазіпроективний многовид $X\subseteq \mathbb {P} ^{n}$ є повним, то він є проективним.

Простий наслідок попередньої властивості, адже образ морфізму включення має бути замкнутою множиною.

• Над полем комплексних чисел $\mathbb {C}$ алгебричний многовид є повним тоді і тільки тоді, коли він є компактним у класичній топології.
• Теорема Нагати: Будь-який відокремлюваний многовид є ізоморфним відкритому підмноговиду деякого повного многовида.
• Лема Чжоу. Повний многовид є образом деякого проективного многовида при сюр'єктивному біраціональному морфізмі.

Приклади

• Проєкція $\pi _{\mathbb {A} ^{1}}\colon \mathbb {A} ^{1}\times \mathbb {A} ^{1}$ не є замкнутою. Образом гіперболи $V(xy-1)$ є множина $\mathbb {A} ^{1}\setminus \{0\},$ що не є замкнутою. Тому афінна пряма не є повною. Також це випливає з того, що афінна пряма є квазіпроективним многовидом але не є проективним.
• Натомість довільний проективний многовид завжди є повним.

Враховуючи властивості повних многовидів достатньо лише довести, що проєкція $\pi _{\mathbb {A} ^{m}}:\mathbb {P} ^{m}\times \mathbb {A} ^{m}\to \mathbb {A} ^{m}$ є замкнутою. Позначимо однорідні координати в $\mathbb {P} ^{n}$ через $x=(x_{0}:x_{1}:\ldots :x_{n})$ , а координати в $\mathbb {A} ^{m}$ через $y=(y_{1},y_{2},...,y_{m})$. Нехай $Z$ — замкнута підмножина у $\mathbb {P} ^{n}\times \mathbb {A} ^{m}$. Вона є множиною спільних нулів множини многочленів $S=\{F_{1},F_{2},\ldots ,F_{r}\}\subset K[X,Y]$, які є однорідними по змінних $x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}$. Точка $q\in \mathbb {A} ^{m}$ належить до $\pi _{\mathbb {A} ^{m}}(Z)$ тоді й лише тоді, коли існує точка $p\in \mathbb {P} ^{n}$ , така що $(p,q)\in Z$ , тобто $F_{i}(p,q)=0$ для всіх $i=1,\ldots ,r$ . Отже, $q\not \in \pi _{\mathbb {A} ^{m}}(Z)$ тоді й лише тоді, коли $PV(S_{q})=\varnothing$ , де $S_{q}=\{F_{1}(x,q),...,F_{r}(x,q)\}$ . По проективній Теоремі Гільберта про нулі, це означає, що $I_{+}^{k}\subseteq S_{q}$ для деякого $k$ , тобто кожен одночлен степеня $k$ може бути представлений у вигляді $\sum _{i=1}^{r}H_{i}F_{i}(x,q)$ для деяких однорідних многочленів $H_{i}(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})$. Позначимо через $P_{k}$ векторний простір всіх однорідних многочленів степеня $k$ з $K[x]$. Остання умова означає, що множина $\{w_{j}F_{i}(x,q)|i=1,\ldots ,r\}$ де $w_{j}$ пробігає всі одночлени степеня $k-\operatorname {deg} F_{i}$ породжує $P_{k}$ , або, що те саме, $\operatorname {rk} M_{k}=\operatorname {dim} P_{k}$ , де $M_{k}$ — матриця, рядки якої складаються з коефіцієнтів усіх можливих $w_{j}F_{i}$ (записаних у заданому порядку). Позначимо $D=\operatorname {dim} P_{k}$ . Оскільки завжди $\operatorname {rk} M_{k}\leqslant \operatorname {dim} P_{k}$ , остання умова означає, що принаймні один $D\times D$ мінор $M_{k}$ ненульовий. Коефіцієнти матриці $M$ — многочлени від $q$ , отже, множина $U_{k}=\{q\in \mathbb {A} ^{m}|\operatorname {rk} M_{k}=\operatorname {dim} P_{k}\}$, відкрита в $\mathbb {A} ^{m}$. Тому множина $U=\bigcup _{k=1}^{\infty }U_{k}$ є також відкритою. Але $U=\mathbb {A} ^{n}\setminus \pi _{\mathbb {A} ^{m}}(Z)$ , отже, $\pi _{\mathbb {A} ^{m}}(Z)$ є замкнутою.

• Хоча більшість повних многовидів, що зустрічаються на практиці є проективними, існують і непроективні повні многовиди. Візьмемо спочатку $\mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}$ і роздуємо на ньому точку $(0,0)$. Після цього одержується лінійчата поверхня $\varphi :Y\to \mathbb {P} ^{1}$ з одним виродженим шаром над 0, який складається з двох компонент $F$ і $G$ ізоморфних $\mathbb {P} ^{1}$.

Тепер візьмемо ще один екземпляр такої поверхні $\varphi ':Y'\to \mathbb {P} ^{1}$ з виродженим шаром $\varphi '^{-1}(0)=F'\cup G'$ і склеїмо $Y$ з $Y'$, ототожнюючи криву $F$ з шаром $\varphi '^{-1}(\infty )$ і $F'$ з шаром $\varphi ^{-1}(\infty )$.

Отримана поверхня $X$, складається з двох компонент $Y$ і $Y'$, кожна з яких є проективною, тому $X$ є повним многовидом. Однак $X$ не можна вкласти в $\mathbb {P} ^{n}$.

В іншому випадку, візьмемо гіперплощину $H\subset \mathbb {P} ^{n}$, яка трансверсально перетинає $F,G,F',G'$ відповідно в $\nu ,\mu \nu ',\mu '$ точках. Так як шар $\varphi ^{-1}(0)=F+G$ «неперервно деформується» в шар $\varphi ^{-1}(\infty )=F'$, ми отримуємо $\nu +\mu =\nu '$. Аналогічно $\nu '+\mu '=\nu$ звідки $\mu +\mu '=0$ . Це означає, що гіперплощина $H$ не перетинається з кривими $G,G'$, тобто вони лежать в $\mathbb {P} ^{n}\setminus H$. Але $\mathbb {P} ^{n}\setminus H\cong \mathbb {A} ^{n}$ — афінний многовид і він не може містити повних кривих.

• Будь-яка гладка повна крива і гладка повна поверхня є проективними. В розмірності три існують гладкі повні непроективні многовиди.

Див. також

• Алгебричний многовид
• Компактний простір
• Морфізм алгебричних многовидів
• Алгебрична поверхня

Література

• Дрозд, Ю. А. (2004). Вступ до алгебричної геометрії (PDF). Львів: ВНТЛ–Класика. ISBN 9667493539. (укр.)
• James E. Humphreys: Linear Algebraic Groups. Springer, New York 1975, ISBN 978-1-4684-9445-7, 6. Complete Varieties.
• Mumford, David (1999), The red book of varieties and schemes, Lecture notes in mathematics, т. 1358 (вид. Second, expanded), Springer-Verlag, doi:10.1007/b62130, ISBN 978-3-540-63293-1