Мінор матриці

Мінором $\ k$-го порядку матриці $\ A$ називається визначник, утворений елементами матриці на перетині $\ k$ стовпців та $\ k$ рядків.

Формальне означення

Нехай $\ A=(a_{ij})$ — матриця розміру $\ m\times n$, в якій вибрано довільні $\ k$ $(k\leqslant n,k\leqslant m)$

• рядків з номерами $\ i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}$ та
• стовпців з номерами $\ j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{k}.$

Елементи, що знаходяться на перетині обраних рядків та стовпців утворюють квадратну матрицю порядку $\ k$.

Визначник матриці, яка одержується з $\ A$ викреслюванням всіх рядків та стовпців, окрім вибраних, називається мінором $\ k$-го порядку, розташованим в рядках з номерами $\ i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k}$ та стовпцях з номерами $\ j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k}$.

$M_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}=\det {\begin{pmatrix}a_{i_{1}j_{1}}&a_{i_{1}j_{2}}&\ldots &a_{i_{1}j_{k}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i_{k}j_{1}}&a_{i_{k}j_{2}}&\ldots &a_{i_{k}j_{k}}\end{pmatrix}}.$

Якщо$\ A$ є квадратною матрицею, визначник матриці, яка одержується викреслюванням тільки вибраних рядків та стовпців з матриці$\ A$ називається доповнювальним мінором до мінору $A_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}$

${\overline {M}}_{\,j_{1},\ldots ,j_{k}}^{\,i_{1},\ldots ,i_{k}}=\det {\begin{pmatrix}a_{i_{k+1}j_{k+1}}&a_{i_{k+1}j_{k+2}}&\ldots &a_{i_{k+1}j_{n}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i_{n}j_{k+1}}&a_{i_{n}j_{k+2}}&\ldots &a_{i_{n}j_{n}}\end{pmatrix}},$

де $\ i_{k+1}<\ldots <i_{n}$ та $\ j_{k+1}<\ldots <j_{n}$ — номери не вибраних рядків і стовпців.

Пов'язані означення

• Мінором $\ M_{ij}$ елемента $\ a_{ij}$ квадратної матриці $\ A$ порядку $\ n$ називається визначник (n-1) порядку, який одержуємо з визначника $\ |A|$ n-го порядку шляхом викреслювання і-го рядка та j-го стовпця, на перетині яких знаходиться елемент $\ a_{ij}.$

• Нехай $\ \Delta _{k}$ — деякий мінор порядку $\ k$ матриці $\ A$. Мінор порядку $\ k+1$ матриці називається оточуючим для мінора $\ \Delta _{k}$, якщо його матриця містить в собі матрицю мінору $\ \Delta _{k}$. Таким чином, оточуючий мінор для мінора $\ \Delta _{k}$ можна одержати дописуючи до нього один рядок і один стовпчик.

• Базисним мінором ненульової матриці $A$ (існує ненульовий елемент) називається мінор, який не дорівнює нулю, а всі його оточуючі мінори дорівнюють нулю, або їх не існує. Доведення існування базисного мінора: утворимо мінор з єдиного ненульового елемента і будемо рекурсивно шукати ненульові оточуючі мінори аж до найбільшого. В загальному випадку в матриці може існувати багато базисних мінорів. Розмір базисного мінора матриці називається рангом матриці.
• Для $\ m\times n$-матриці $A$ мінори виду $M_{i_{1},\ldots ,i_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}$, де$\ i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}$ і $(k\leqslant n,k\leqslant m)$ називаються головними мінорами. Тобто для цих мінорів обираються однакові номери для рядків і стовпців. Головні мінори переважно розглядають для квадратних матриць.

Приклади

• Розглянемо матрицю $A$ розміру $\ m\times n$:

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\cdots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}},\qquad M_{2,3}^{1,2}={\begin{array}{|cc|}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\\\end{array}}$ — мінор 2-го порядку.

Загалом для цієї матриці є ${C_{m}^{2}}{C_{n}^{2}}$ мінорів другого порядку.

• Мінор $\ M_{23}$ квадратної матриці $\ A$ — визначник матриці, отриманий шляхом викреслювання рядка 2 та стовпчика 3:

$A={\begin{pmatrix}\,\,\,1&4&7\,\\\,\,\,3&0&5\,\\-1&9&\!11\,\\\end{pmatrix}},\qquad M_{23}={\begin{vmatrix}\,\,1&4&\Box \,\\\,\Box &\Box &\Box \,\\-1&9&\Box \,\\\end{vmatrix}}$ $\longrightarrow$ ${\begin{vmatrix}\,\,\,1&4\,\\-1&9\,\\\end{vmatrix}}=\left(9-\left(-4\right)\right)=13.$

Властивості

• Для матриці $A$ розміру $\ m\times n$ існує ${C_{m}^{k}}\cdot {C_{n}^{k}}$ різних мінорів порядку $\ k$, де $(k\leqslant n,k\leqslant m)$.

• Теорема Лапласа. Нехай $\ A=(a_{ij})$ — квадратна матриця розміру $\ n\times n,$ в якій вибрано довільні $\ k$ рядків. Тоді визначник матриці $\ A$ рівний сумі всіляких добутків мінорів $\ k$-го порядку, розташованих в цих рядках, на їх алгебраїчні доповнення.

$\det A=\sum _{j_{1}<\ldots <j_{k}}M_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}A_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}},$

де підсумовування ведеться по всіх номерах стовпців $\ j_{1},\ldots ,j_{k}.$ Число мінорів, по яких береться сума в теоремі Лапласа, рівне числу способів вибрати $k$ стовпців з $n$, тобто біноміальному коефіцієнту $\textstyle {n \choose k}$.

Оскільки рядки і стовпці матриці рівносильні щодо властивостей визначника, теорему Лапласа можна сформулювати і для стовпців матриці.

• Теорема про базисний мінор

1. Рядки ненульової матриці $\ A$ на яких будується її базисний мінор $\ \Delta _{r}$ є лінійно незалежними.
2. Всі інші рядки матриці лінійно виражаються через них.

• Нехай $A$ є матрицею розміру $\ m\times n$, $B$ є матрицею розміру $\ n\times p$ і $C=AB$ є їх добутком. Позначатимемо $_{A}M,\ _{B}M,\ _{C}M$ мінори відповідних матриць. Тоді для мінора $_{C}M_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}$ де $k\leqslant p,k\leqslant m$ і $\ i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}$ є номерами рядків, а $\ j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{k}$ — номерами стовпців, якщо $k>n,$ то $_{C}M_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}=0.$ В іншому випадку цей мінор одержується через мінори матриць $\ A$ і $B$ за допомогою формули:

  $_{C}M_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}=\sum _{1\leqslant l_{1}<\ldots <l_{k}\leqslant n}\ _{A}M_{l_{1},\ldots ,l_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}\cdot \ _{B}M_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{l_{1},\ldots ,l_{k}}.$

  Дана формула є узагальненням формули Біне — Коші.

• Із попереднього узагальнення формули Біне — Коші випливає, що сума головних мінорів однакового порядку матриць $AB$ і $BA$ є однаково.
• Характеристичний многочлен $\ p_{A}(\lambda )=\det(A-I_{n}\lambda )$ квадратної матриці $A$ можна записати як $p_{A}(\lambda )=\lambda ^{n}+\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i}m_{i}(A)\lambda ^{n-i}$, де $m_{i}(A)$ позначає суму головних мінорів порядку $i$ матриці $A.$ Як наслідок суми головних мінорів однакового порядку двох подібних матриць є рівними. Зокрема єдиним головним мінором максимального порядку є визначник, а сума головних мінорів порядку 1 називається слідом матриці.

Див. також

• Теорія матриць
• Матриця (математика)
• Визначник матриці
• Ранг матриці
• Формула Біне — Коші

Джерела

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — ISBN 5791300158.(рос.)
• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 703 с.(укр.)
• С.С.Шестаков, С.І.Доценко. Визначники, матриці та системи лінійних рівнянь^{[недоступне посилання з липня 2019]}. Курс лекцій з алгебри для студентів факультету кібернетики.