Повний тор

Повний тор

Повний тор (повнотор, повноторій) — тривимірна фігура, обмежена тором, а також топологічний простір, гомеоморфний цій фігурі, тобто прямий добуток $D^{2}\times S^{1}$двовимірного диска і кола. Неформально, повний тор — геометричне тіло (бублик), тоді як тор — тільки його поверхня (пустотіла камера колеса).

Властивості

• Повний тор можна отримати як фігуру обертання круга радіуса $r$ навколо осі, що лежить у площині цього круга і розташована на відстані $R$ від його центра.
• Об'єм повного тора як наслідок з другої теореми Гульдіна: $V=2\pi ^{2}Rr^{2}$, де $r$ — радіус твірного круга, а $R$ — відстань від центра твірного круга до осі обертання (див. рисунок).
• Повний тор є тривимірним компактним многовидом із краєм. Цей многовид є зв'язним і орієнтованим.
• Повний тор гомотопічно еквівалентний колу $S^{1}$. Звідси випливає, що повний тор і коло мають однакові фундаментальні групи і групи гомологій:

$\pi _{1}(S^{1}\times D^{2})\cong \pi _{1}(S^{1})\cong \mathbb {Z}$

$H_{k}(S^{1}\times D^{2})\cong H_{k}(S^{1})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,1\\0&k\geq 2\end{cases}}$

Література

• Фоменко А. Т. Наглядная геометрия и топология — М., 1992.
• Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии.— М.: Наука, 1989.