Гомологія (математика)

Гомологія (від дав.-гр. ὅμοιος — «той же» + λογος — «слово», «закон») — у математиці, (особливо у алгебраїчній топології і абстрактній алгебрі), це спосіб зв'язати ряд алгебраїчних об'єктів, таких як абелеві групи або модулі над кільцем, з іншими математичними об'єктами, такими як топологічні простори. Гомологічні групи вперше виникли у алгебраїчній топології, де вони були винайдені як спосіб описати «дірки» в многовидах. Зараз подібні конструкції використовуються в різноманітних галузях математики, таких як теорія груп, алгебри Лі, та інші.

Гомологія дозволяє побудувати топологічний інваріант простору.

Загальні принципи

Теорія гомологій співставляє кожному топологічному простору X послідовність абелевих груп, що є гомотопічними інваріантами простору - якщо два простори гомотопічно еквівалентні, то ці групи є ізоморфними. Це дозволяє претворити топологічну задачу на алгебраїчну, і, хоча це перетворення незворотнє, тобто при ньому втрачаються деякі геометричні властивості просторів, такий метод продемонстрував свою користь для багатьох класів задач.

Загалом, гомологією топологічного простору X можна назвати ряд топологічних інваріантів Χ, виражені як класи гомології

$H_{0}(X),H_{1}(X),H_{2}(X),\ldots$

де  k-та група $H_{k}(X)$ описує  k-вимірні дірки в X.

Існує багато різних теорій гомологій - сімпліціарні, клітинні, гомології Чеха, Александера і Де-Рама, і, хоча вони не є еквівалентними, і приводять до різних інваріантів, в клітинних або гомотопних клітинним, просторах, тобто, таких, які можна розбити на клітини, кожна з яких гомеоморфна відкритій n-вимірній кулі, усі ці теорії приводять до одних і тих же об'єктів.

Історія

Першими теоріями, про які можна сказати, що вони описували гомології, були Ейлерова характеристика багатогранників і Ріманове визначення роду орієнтованої поверхні. 

Власне гомології були винайдені як спосіб аналізу і класифікації многовидів, що спирався на кількість їх циклів — замкнених петель (або, більш загально, підмноговидів), що можуть бути намальовані на деякому многовиді, але не можуть бути переведені один в інший неперервної деформацією. 

Цикли на 2-сфері

На звичайній сфері $S^{2}$, будь-який цикл можна деформацією перевести в будь-який інший, що зрозуміло з теореми Жордана, з якої слідує, що будь-яка замкнена лінія на сфері можна стягнути в точку.  Таким чином, усі цикли на сфері належать до одного класу гомологій, і всі вони гомологічні нулю. Розрізавши многовид вздовж цикла, що гомологічний нулю, розділяє його на кілька компонентів.

Цикли на торі

На відміну від сфери, на торі  можуть існувати цикли, що неможливо стягнути в точку. Цикли a, b на діаграмі вище є прикладом таких циклів. Тор можна розрізати вздовж цих циклів, і він перетвориться на фігуру, подібну до квадрата. 

Можна сказати і навпаки, склеївши сторони квадрата у деякій послідовності, можна отримати тор. Загалом існує чотири способи попарно з'єднати сторони квадрата. Два з них дають сферу і тор, а два інших — пляшку Клейна і проективну площину. 

Чотири способи зробити закриту поверхню: потрібно склеїти сторони, що мають однакові стрілки разом.

Приклади

Одновимірна сфера  $S^{1}$ (коло). Вона має один компонент з одновимірною діркою. Відповідні групи гомологій задаються як

$H_{k}(S^{1})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,1\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

де $\mathbb {Z}$ — група цілих чисел, а $\{0\}$ — тривіальна група. Група $H_{1}(S^{1})=\mathbb {Z}$ представляє скінченнопороджену абелеву групу, з одним генератором, якому відповідає одновимірна дірка в колі.