Формула повної ймовірності

Частина серії статей з статистики
Теорія ймовірностей
Аксіоми
Ймовірнісний простір Простір елементарних подій Елементарна подія Випадкова подія Випадкова величина Міра ймовірності
Доповнювальна подія Спільний розподіл Відособлений розподіл Умовна ймовірність
Незалежність Умовна незалежність Формула повної ймовірності Закон великих чисел Теорема Баєса Нерівність Буля
Діаграма Венна Деревна діаграма

Формула повної ймовірності дозволяє обчислити ймовірність деякої події через умовні ймовірності цієї події в припущенні якихось гіпотез, а також ймовірностей цих гіпотез.

Визначення

Нехай дано імовірнісний простір $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$, і повна група подій $\{B_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset {\mathcal {F}}$, таких що $\mathbb {P} (B_{n})>0\;\forall n$. Хай $A\in {\mathcal {F}}$ подія, що нас цікавить. Тоді

$\mathbb {P} (A)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\mathbb {P} (A\mid B_{n})\mathbb {P} (B_{n})$.

Зауваження

Формула повної ймовірності також має наступну інтерпретацію. Нехай $N$ — випадкова величина, що має розподіл

$\mathbb {P} (N=n)=\mathbb {P} (B_{n})$.

Тоді

$\mathbb {P} (A)=\mathbb {E} \left[\mathbb {P} (A\mid N)\right]$,

тобто апріорна ймовірність події рівна середньому його апостеріорної ймовірності.

Приклади

Приклад 1

Задача:

Припустимо, прогноз погоди показує, що завтра з ймовірністю 0.6 (60%) буде сонячна погода. Відповідно те, що погода буде дощовою, дорівнює 0.4 (так як сума імовірностей подій, що складають повну групу дорівнює одиниці, тобто 100 відсоткам).

Також в нас є деякі дані по прогнозу на післязавтра: Якщо завтра буде сонячно, то ймовірність того, що післязавтра буде сонячно дорівнює 0.7

P(D2 = сонячно | D1 = сонячно) = 0.7

Якщо завтра буде дощ, то ймовірність того, що післязавтра буде сонячно дорівнює 0.4

P(D2 = сонячно | D1 = дощ) = 0.4

Знайти ймовірність того, що післязавтра буде сонячно.

Розв'язок:

Необхідно знайти дві події:

1. ймовірність того що і завтра і післязавтра буде сонячно. Вирахуємо це по теоремі добутку залежних подій: P(D2 = сонячно | P(D1 = сонячно)) * P(D1 = сонячно) = 0.7*0.6 = 0.42

2. Ймовірність того що завтра буде дощ а післязавтра буде сонячно.

P(D2 = сонячно | P(D1 = дощ)) * P(D1 = дощ) = 0.4*0.4 = 0.16

Після цього, необхідно скласти ймовірності цих двох подій. В результаті отримаємо ймовірність сонячної погоди післязавтра рівною 58%

Приклад 2

Припустимо, що дві різні фабрики виробляють електричні лампочки. Лампи фабрики X працюватимуть довше 5000 годин в 99% випадків, в той час як лампочки фабрики Y працюватимуть довше 5000 годин в 95% випадків. Відомо, що фабрика X поставляє 60% ламп, від загально доступної кількості, а фабрика Y поставляє решту 40% ламп. Який шанс, що придбана лампа працюватиме довше ніж 5000 годин?

Застосовуючи формулу повної ймовірності, маємо:

${\begin{aligned}P(A)&=P(A\mid B_{X})\cdot P(B_{X})+P(A\mid B_{Y})\cdot P(B_{Y})\\[4pt]&={99 \over 100}\cdot {6 \over 10}+{95 \over 100}\cdot {4 \over 10}={{594+380} \over 1000}={974 \over 1000}\end{aligned}}$

де

• $P(B_{X})={6 \over 10}$ — імовірність, що придбана лампа була виготовлена фабрикою X;
• $P(B_{Y})={4 \over 10}$ — імовірність, що придбана лампа була виготовлена фабрикою Y;
• $P(A\mid B_{X})={99 \over 100}$ — імовірність що лампа, виготовлена фабрикою X працюватиме більше ніж 5000 годин;
• $P(A\mid B_{Y})={95 \over 100}$ — імовірність що лампа, виготовлена фабрикою Y працюватиме більше ніж 5000 годин.

Таким чином існує імовірність в 97.4%, що кожна придбана лампа буде працювати більше ніж 5000 годин.

Див. також

• Правило повного математичного сподівання
• Імовірність
• Умовна ймовірність
• Умовне математичне сподівання
• Теорема Баєса

Джерела

• Гнєденко Б. В. Курс теорії ймовірностей. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2010. — 464 с.
• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
• Capinski, Marek, Kopp, Peter E. Measure, Integral and Probability. — Springer Verlag 2004. — ISBN 9781852337810
• Williams D. Probability with Martingales/ — Cambridge University Press, 1991/ — ISBN 0-521-40605-6