Приклад Бернштейна

Приклад Бернштейна показує що попарна незалежність подій ще не означає їх незалежність в сукупності.

Підкидається правильний тетраедр, три грані якого пофарбовано відповідно в червоний, синій і зелений кольори, а в розфарбуванні четвертої грані є всі три кольори. Події R (червоний), G (зелений), B(синій) означають, що в розфарбуванні грані, яка стикається з поверхнею, є відповідні кольори. Перевірити, що події R,G,B попарно незалежні, але не незалежні в сукупності.

Розв'язання

Оскільки тетраедр правильний, то беремо класичну модель, за якої ймовірності випадання кожної грані є рівними й дорівнюють ${\textstyle {\frac {1}{4}}}$.

Кожен колір наявний на двох гранях з чотирьох, тому $P(R)=P(G)=P(B)={\frac {2}{4}}={\frac {1}{2}}$.

Два і більше кольорів наявні в розфарбуванні лише однієї грані з чотирьох, тому

$P(R\cap G)=P(G\cap B)=P(B\cap R)={\frac {1}{4}}$.

Звідси,

$P(R\cap G)=P(R)P(G),\,P(G\cap B)=P(G)P(B),\,P(B\cap R)=P(B)P(R)$.

Тому, події R,G,B – попарно незалежні за означенням. Але

$P(R\cap G\cap B)={\frac {1}{4}}\not ={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}=P(R)P(G)P(B)$

що означає, що вони не є незалежними в сукупності.

Джерела

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
• В. М. Турчин (2003). Теорія ймовірностей. Основні поняття, приклади, задачі (укр) . Київ: А.С.К. ISBN 966-319-002-7.