Незалежність (теорія ймовірностей)

У теорії ймовірностей дві випадкові події називаються незалежними, якщо настання однієї з них не змінює імовірність настання іншої. Аналогічно, дві випадкові величини називають незалежними якщо значення однієї з них не впливає на розподіл значень іншої.

Незалежні події

Вважатимемо, що дано фіксований ймовірнісний простір $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$.

Означення 1. Дві події $A,B\in {\mathcal {F}}$ називають незалежними, якщо

$\mathbb {P} (A\cap B)=\mathbb {P} (A)\cdot \mathbb {P} (B)$.

Зауваження 1. В тому випадку, якщо ймовірність однієї події, скажімо $B$, ненульова, тобто $\mathbb {P} (B)>0$, визначення незалежності еквівалентне:

$\mathbb {P} (A\mid B)=\mathbb {P} (A)$,

тобто умовна ймовірність події $~A$ за умови $~B$ дорівнює безумовній імовірності події $~A$.

Означення 2. Нехай є сімейство (скінченне або нескінченне) випадкових подій $\{A_{i}\}_{i\in I}\subset {\mathcal {F}}$, де $~I$ — довільна індексна множина. Тоді ці події є попарно незалежними, якщо будь-які дві події з цього сімейства незалежні, тобто

$\mathbb {P} (A_{i}\cap A_{j})=\mathbb {P} (A_{i})\cdot \mathbb {P} (A_{j}),\;\forall i\not =j$.

Означення 3. Нехай є сімейство (скінчене або нескінчене) випадкових подій $\{A_{i}\}_{i\in I}\subset {\mathcal {F}}$. Тоді ці події сукупно незалежні, якщо для будь-якого кінцевого набору цих подій $\{A_{i_{k}}\}_{k=1}^{N}$ вірно:

$\mathbb {P} (A_{i_{1}}\cap \ldots \cap A_{i_{n}})=\mathbb {P} (A_{i_{1}})\ldots \mathbb {P} (A_{i_{n}})$.

Приклад 1. Монета кидається двічі. Ймовірність появи герба в першому випробуванні не залежить від появи чи відсутності герба в другому випробуванні. В свою чергу, ймовірність того, що герб випаде в другому випробуванні не залежить від результатів першого випробування. Отже, події А — «поява герба в першому випробуванні» і В — «поява герба в другому випробуванні» — незалежні.

Приклад 2. В урні 5 білих і 4 чорних кульки. Із неї навмання беруть кульку. Ймовірність появи білої кульки (подія А) дорівнює ${\frac {5}{9}}$. Взяту кульку повертають в урну і продовжують випробування. Ймовірність появи білої кульки при другому випробуванні (подія В), також дорівнює ${\frac {5}{9}}$. В свою чергу, ймовірність витягти білу кульку при першому випробуванні, не залежить від другого випробування. Отже, події А і В — незалежні.

Приклад 3. Хай кинуто три урівноважені монети. Визначимо події таким чином:

• $~A_{1}$: монети 1 і 2 впали однією і тією ж стороною;
• $~A_{2}$: монети 2 і 3 впали однією і тією ж стороною;
• $~A_{3}$: монети 1 і 3 впали однією і тією ж стороною;

залежні, бо знаючи, наприклад, що події $~A_{1},A_{2}$ сталися, ми знаємо точно, що $~A_{3}$ також сталося.

Те що три і більше події попарно незалежні, не означає, що вони незалежні в сукупності. Дивіться приклад Бернштейна.

Незалежні σ-алгебри

Означення 4. Нехай ${\mathcal {A}}_{1},{\mathcal {A}}_{2}\subset {\mathcal {F}}$ дві сигма-алгебри на одному і тому ж ймовірнісному просторі. Вони називаються незалежними, якщо будь-які їх представники незалежні між собою, тобто:

$\mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2})=\mathbb {P} (A_{1})\cdot \mathbb {P} (A_{2}),\;\forall A_{1}\in {\mathcal {A}}_{1},\,A_{2}\in {\mathcal {A}}_{2}$.

Якщо замість двох є ціле сімейство (можливо нескінчене) сигма-алгебр, то для нього визначається попарна і спільна незалежність очевидним чином.

Спадкова незалежність

Теорема про спадковість незалежності випадкових величин. Якщо $\xi$ та $\eta$ - незалежні випадкові величини, а $f(\cdot ),g(\cdot )$ - незалежні, невипадкові функції, які визначені на області можливих значень $\xi$ та $\eta$ відповідно, то $f(\xi )$ та $g(\eta )$ - незалежні випадкові величини.

• Нехай $\mathbb {P} ^{X,y}$ - розподіл випадкового вектора $(X,y)$, $\mathbb {P} ^{X}$ - розподіл $X$ і $\mathbb {P} ^{Y}$ - розподіл $Y$. Тоді $X,Y$ незалежними тоді і лише тоді, коли

$\mathbb {P} ^{X,y}=\mathbb {P} ^{X}\otimes \mathbb {P} ^{Y}$,

де $\otimes$ позначає (прямий) добуток мір;

• Нехай $F_{X,y},F_{x},F_{y}$ - кумулятивні функції розподілу $(X,y),X,Y$ відповідно. Тоді $X,Y$ незалежні тоді і лише тоді, коли

$F_{X,y}(x,y)=F_{x}(x)\cdot F_{y}(y)$;

• Нехай випадкові величини $X,Y$ дискретні. Тоді вони незалежні тоді і лише тоді, коли

$\mathbb {P} (X=i,Y=j)=\mathbb {P} (X=i)\cdot \mathbb {P} (Y=j)$.

• Нехай випадкові величини $X,Y$ спільно абсолютно безперервні тобто їх спільний розподіл має щільність $f_{X,Y}(x,y)$. Тоді вони незалежні тоді і лише тоді, коли

$f_{X,Y}(x,y)=f_{X}(x)\cdot f_{Y}(y),\;\forall (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$,

де $f_{X}(x),f_{Y}(y)$ - щільність випадкових величин $X$ і $Y$ відповідно.

Див. також

• Незалежні однаково розподілені випадкові величини

Джерела

• Гнєденко Б. В. Курс теорії ймовірностей. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2010. — 464 с.
• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)