Простий елемент

У комутативній алгебрі термін простий елемент є узагальненням поняття простого числа для довільного комутативного кільця з одиницею.

Визначення

Елемент $c$ комутативного кільця з одиницею $(R,+,\cdot ,0,1)$ називається простим, якщо $c$ не є рівним 0, не є оборотним і якщо для довільних елементів $a,b\in R$ з того що $c$ ділить добуток $a\cdot b$ випливає, що $c$ ділить також хоча б один з елементів $a$ або $b$.

Властивості

• Якщо $c$ є простим елементом і $e$ є оборотним елементом, то добуток $c\cdot e$ теж є простим елементом.
• Для елемента $c\neq 0$ породжений ним ідеал $(c)$ є простим тоді і тільки тоді, коли $c$ є простим елементом.
• Якщо кільце є областю цілісності, то будь-який простий елемент є незвідним:

Припустимо, що $p$ є простим елементом і існує розклад на добуток елементів $p=ab.$ Тоді $p|ab\Rightarrow p|a$ або $p|b.$ Нехай $p|a\Rightarrow a=pc,$ тоді $p=ab=pcb\Rightarrow p(1-cb)=0.$ Оскільки $R$ є областю цілісності то $cb=1.$ Тож $b$ є оборотним елементом і $p$ є незвідним.

Для довільного комутативного кільця це твердження не є правильним (див. приклади).

• Навпаки для області цілісності незвідні елементи можуть не бути простими. Але, наприклад, у факторіальному кільці кожен незвідний елемент є простим і довільний елемент кільця розкладається на добуток простих елементів і цей розклад є єдиним з точністю до перестановки множників і до множень на оборотні елементи.

Приклади

• Оскільки для поля всі ненульові елементи є оборотними, то у полі немає простих елементів.
• Для кільця цілих чисел простими елементами е прості числа (2, 3, 5, 7, 11, …).
• Простими елементами в кільці гаусових чисел $\mathbb {Z} [i]$ є добуток $\pm 1,\pm i$ і простих чисел виду $4k+3,\ k\in \mathbb {Z}$, а також числа $a+b\cdot i,\ a,b\in \mathbb {Z}$, для яких $a^{2}+b^{2}$ є простим числом, зокрема $3,\,7,\,11,\,1+i,\,2+3i$ Числа $2=(1+i)\cdot (1-i)$, $5=(2+i)\cdot (2-i)$ і $3+i=(1+i)\cdot (2-i)$ не є простими.
• Область цілісності $\mathbb {Z} [i{\sqrt {5}}]$ (множина чисел виду $a+b\cdot i{\sqrt {5}}$ де $a,b\in \mathbb {Z}$ разом із звичайними операціями комплексних чисел) не є факторіальним кільцем і є прикладом області цілісності в якій є незвідні але не прості елементи. Зокрема $2|(1+i{\sqrt {5}})\cdot (1-i{\sqrt {5}})=6$ проте 2 не ділить жодне з чисел $1+i{\sqrt {5}},1-i{\sqrt {5}}$. В іншому випадку норма числа 2 $N(2)=4$ ділила б норму котрогось з цих чисел. Але $N(1+i{\sqrt {5}})=N(1-i{\sqrt {5}})=6.$ Тож 2 не є простим елементом у цьому кільці. Натомість 2 є незвідним елементом. В іншому разі його необоротний дільник $a+b\cdot i{\sqrt {5}}$ мав би задовольнять рівність $a^{2}+5b^{2}=2,$ що неможливо.
• В кільці $\mathbb {Z} /6\mathbb {Z} ,$ що не є областю цілісності елементи 2, 3 є простими але $2=2\cdot 4,\;3=3\cdot 3,$ тож вони не є незвідними.

Див. також

• Незвідний елемент
• Простий ідеал

Джерела

• (укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.
• Курош А. Г. Общая алгебра. — М. : Мир, 1970. — 162 с.(рос.)

• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)
• Бондаренко Є.В. (2012). Теорія кілець: навчальний посібник (PDF). Київ: РВЦ “Київський університет„. с. 64. (укр.)