Псевдоколо

Псевдоко́ло — скінченний топологічний простір, невідмінний від кола з погляду алгебричної топології.

Побудова

Псевдоколо складається з чотирьох точок $\{a,b,c,d\}$ і наділене топологією з такими відкритими множинами:

$\left\{\{a,b,c,d\},\{a,b,c\},\{a,b,d\},\{a,b\},\{a\},\{b\},\varnothing \right\}$ .

Зауваження

• Цю топологію можна визначити через частковий порядок $a<c,\ b<c,\ a<d,\ b<d$, де відкрити набори замкнутих множин.

Властивості

• З точки зору загальної топології, псевдоколо — патологічний простір, оскільки він не задовольняє жодній з аксіом відокремлюваності, крім $T_{0}$.
• Неперервне відображення $f$ із кола $\mathbb {S} ^{1}=\{\,(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\,\}$ у псевдоколо, що визначається як

  $f(x,y)={\begin{cases}a\quad x<0\\b\quad x>0\\c\quad (x,y)=(0,1)\\d\quad (x,y)=(0,-1)\end{cases}}$,

є слабкою гомотопічною еквівалентністю. Зокрема, $f$ індукує ізоморфізми всіх гомотопічних груп, а також ізоморфізм на сингулярних гомологіях і когомологіях і взагалі ізоморфізм для всіх теорій гомологій та когомологій.

Варіації та узагальнення

• Павло Сергійович Александров показав, що з будь-якого скінченного симпліційного комплексу $K$ існує скінченний топологічний простір $X_{K}$, який має той самий слабкий гомотопічний тип, що й геометрична реалізація $|K|$.