Псі-функція Дедекінда

Псі-функція Дедекінда — мультиплікативна арифметична функція, яку ввів німецький математик Ріхард Дедекінд для вивчення модулярних функцій.

Значення функції ψ(n) для перших кількох натуральних чисел n:

1, 3, 4, 6, 6, 12, 8, 12, 12, 18, 12, 24 ... (послідовність A001615 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).

Означення

Псі-функція Дедекінда є арифметичною функцією, тобто є визначеною на множині натуральних чисел. За означенням ψ(1) = 1. Для інших чисел можна дати кілька еквівалентних означень:

Для $n\geqslant 2:$

\psi (n)=n\prod _{p|n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right),

де добуток береться за всіма простими числами p, що ділять n.

Якщо розклад числа $n\geqslant 2$ на прості множники є $n=p_{1}^{a_{1}}\ldots p_{k}^{a_{k}},$ де всі $a_{i}>0$ то значення функції є рівним:

\psi (n)=(p_{1}+1)p_{1}^{a_{1}-1}\ldots (p_{k}+1)p_{k}^{a_{k}-1}.

Функцію ψ для степенів простих чисел p є рівною $\psi (p^{n})=(p+1)p^{n-1}$ і, до того ж вона є мультиплікативною, тобто для двох взаємно простих чисел $m$ і $n$ виконується рівність $\psi (mn)=\psi (m)\psi (n).$ Ці дві властивості дозволяють визначити значення функції для довільного натурального числа.
Означення функції Дедекінда можна дати також за допомогою згортки Діріхле

\psi (n)=\mathrm {Id} *|\mu |(n)=\mathrm {Id} *\mu ^{2}(n)

де

\mathrm {Id} (n)=n

, а

\mu (n)

є функцією Мебіуса.

Якщо $a|n$ нехай $e(a)$ позначає найбільший спільний дільник чисел $a$ і ${n \over a}.$ Тоді:

\psi (n)=\sum _{a|n}({a \over e(a)})\varphi (e(a))

де

\varphi

— функція Ейлера.

Властивості

Значення функції ψ(n) є більшим, ніж n для всіх n більших 1 і є парним для всіх n більших, ніж 2.

Псі-функція Дедекінда є мультиплікативною.

Якщо n є вільним від квадратів числом, то ψ(n) = σ(n).

Ряд Діріхле функції Дедекінда пов'язаний із дзета-функцією Рімана співвідношенням

\sum {\frac {\psi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-1)}{\zeta (2s)}}.

Функції Дедекінда вищих порядків

Узагальненням псі-функції є функції

\psi _{k}(n)={\frac {J_{2k}(n)}{J_{k}(n)}}

де k є натуральними числами, а

J_{k}

є арифметичними функціями Жордана:

{\textstyle J_{k}(n)=n^{k}\prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p^{k}}}\right).\,}

Еквівалентно можна дати означення через згортку Діріхле:

\psi _{k}(n)=n^{k}*\mu ^{2}(n)

.

Ряди Діріхле для цих функцій пов'язані із дзета-функцією співвідношеннями:

\sum _{n\geqslant 1}{\frac {\psi _{k}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-k)}{\zeta (2s)}}

.

Якщо позначити

\epsilon _{2}=1,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0\ldots

характеристичну функцію квадратів, то згортка цієї функції із узагальненою функцією Діріхле є рівною функції σ_k,

\epsilon _{2}(n)*\psi _{k}(n)=\sigma _{k}(n)

.

Див. також

Посилання

Weisstein, Eric W. Dedekind Function(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Джерела

Goro Shimura (1971). Introduction to the Arithmetic Theory of Automorphic Functions. Princeton. (page 25, equation (1))
Mathar, Richard J. (2011). Survey of Dirichlet series of multiplicative arithmetic functions. arXiv:1106.4038 [math.NT]. Section 3.13.2
A065958 is ψ₂, A065959 is ψ₃, and A065960 is ψ₄