Розв'язна алгебра Лі

В математиці, алгебра Лі ${\mathfrak {g}}$ називається розв'язною похідний ряд стає нульовим починаючи з деякого члена. Похідною алгеброю Лі називається підалгебра в ${\mathfrak {g}}$ , що позначається як

[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]

і елементами якої за означенням є дужки Лі всеможливих пар елементів з ${\mathfrak {g}}$ . Похідним рядом називається послідовність підалгебр

{\mathfrak {g}}\geqslant [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\geqslant [[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]\geqslant [[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]],[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]]\geq ...

Елементи цього ряду також позначаються $D^{k}{\mathfrak {g}}$ де $D^{0}{\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}$ і $D^{k+1}{\mathfrak {g}}=[D^{k}{\mathfrak {g}},D^{k}{\mathfrak {g}}].$

Якщо для деякого k виконується $D^{k}{\mathfrak {g}}=\{0\}$ , то алгебра Лі називається розв'язною.^[1]

Максимальна розв'язна підалгебра називається підалгеброю Бореля. Найбільший розв'язний ідеал алгебри Лі називається радикалом.

Означення

Нехай ${\mathfrak {g}}$ — скінченновимірна алгебра Лі над полем характеристики $0$ . Тоді твердження нижче є еквівалентними і можуть бути використані як означення:

(i) ${\mathfrak {g}}$ є розв'язною за означенням вище.
(ii) ${\rm {ad}}({\mathfrak {g}})$ , приєднане представлення алгебри ${\mathfrak {g}}$ , є розв'язним.
(iii) Існує скінченна послідовність ідеалів ${\mathfrak {a}}_{i}$ алгебри ${\mathfrak {g}}$ } для яких:

{\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}_{0}\supset {\mathfrak {a}}_{1}\supset ...{\mathfrak {a}}_{r}=0,\quad \forall i[{\mathfrak {a}}_{i},{\mathfrak {a}}_{i}]\subset {\mathfrak {a}}_{i+1}.

(iv) $[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$ є нільпотентною алгеброю Лі.^[2]
(v) Для $n$ -вимірної алгебри ${\mathfrak {g}}$ , існує послідовність підалгебр ${\mathfrak {a}}_{i}$ алгебри ${\mathfrak {g}}$ для яких:

{\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}_{0}\supset {\mathfrak {a}}_{1}\supset ...{\mathfrak {a}}_{n}=0,\quad \forall i\operatorname {dim} {\mathfrak {a}}_{i}/{\mathfrak {a}}_{i+1}=1,

і

{\mathfrak {a}}_{i+1}

є ідеалом в

{\mathfrak {a}}_{i}

.^[3] Ця послідовність називається елементарною послідовністю.

(vi) Існує скінченна послідовність підалгебр ${\mathfrak {g}}_{i}$ алгебри ${\mathfrak {g}}$ для яких,

{\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\supset {\mathfrak {g}}_{1}\supset ...{\mathfrak {g}}_{r}=0,

і

{\mathfrak {g}}_{i+1}

є ідеалом

{\mathfrak {g}}_{i}

і до того ж

{\mathfrak {g}}_{i}/{\mathfrak {g}}_{i+1}

є комутативною алгеброю Лі.^[4]

(vii) ${\mathfrak {g}}$ є розв'язною тоді і тільки тоді коли її форма Кіллінга $B$ задовольняє умову $B(X,Y)=0$ для всіх $X$ в ${\mathfrak {g}}$ і $Y$ в $[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$ .^[5]

Приклади

Напівпроста алгебра Лі ніколи не є розв'язною.^[6]
Будь-яка абелева алгебра Лі є розв'язною.
Будь-яка нільпотентна алгебра Лі є розв'язною.
Якщо $V$ є скінченновимірним векторним простором над полем $K$ і $F=\{V_{i}\}$ — повний прапор векторних підпросторів. Підалгебра ${\mathfrak {b}}(F)=\{x\in {\mathfrak {gl}}(V)|xV_{i}\subset V_{i},\;\;\forall V_{i}\}$ алгебри ${\rm {gl}}_{k}$ є розв'язною алгеброю Лі. Якщо на просторі $V$ ввести базис, що узгоджується з $F$ то елементи алгебри ${\mathfrak {b}}(F)$ визначаються верхніми трикутними матрицями. Алгебра верхніх трикутних матриць над полем $K$ розмірності n позначається ${\mathfrak {t}}(n,K).$ Якщо $K$ — алгебраїчно замкнуте поле характеристики 0 то довільна розв'язна скінченновимірна алгебра Лі над полем $K$ ізоморфна підалгебрі алгебри ${\mathfrak {t}}(n,K).$

Властивості

Згідно з теоремою Лі, якщо $V$ є скінченновимірним векторним простором над алгебраїчно замкнутим полем $K$ характеристики 0 і ${\mathfrak {g}}$ є розв'язною алгеброю Лі над підполем $k$ поля $K$ , і $\pi$ є представленням алгебри ${\mathfrak {g}}$ над простором $V$ ,тоді існує повний прапор векторних підпросторів $F$ для якого $\pi ({\mathfrak {g}})\subset {\mathfrak {b}}(F).$ Зокрема існує вектор $v\in V$ що є одночасно власним вектором матриць $\pi (X)$ для всіх елементів $X\in {\mathfrak {g}}$ .^[7] Більш загально теорема Лі є справедливою якщо поле $K$ є досконалим і містить всі власні значення усіх матриць $\pi (X).$

Підалгебра Лі, факторалгебра і розширення розв'язної алгебри Лі є розв'язними алгебрами Лі.
Розв'язна ненульова алгебра Лі має ненульовий абелевий ідеал, останній ненульовий член в похідному ряді.^[8]
Образ розв'язної алгебри Лі при гомоморфізмі є розв'язною алгеброю Лі.^[8]
Якщо ${\mathfrak {a}}$ є розв'язним ідеалом в ${\mathfrak {g}}$ і алгебра ${\mathfrak {g}}/{\mathfrak {a}}$ є розв'язною, то і алгебра ${\mathfrak {g}}$ є розв'язною.^[8]
Якщо ${\mathfrak {g}}$ є скінченновимірною, тоді існує єдиний розв'язний ідеал ${\mathfrak {r}}\subset {\mathfrak {g}}$ , що містить всі розв'язні ідеали алгебри ${\mathfrak {g}}$ . Цей ідеал називається радикалом алгебри ${\mathfrak {g}}$ і позначається ${\rm {rad}}{\mathfrak {g}}$ .^[8] Радикали мають важливе значення в теорії скінченновимірних алгебр Лінад полями характеристики 0 оскільки в цьому випадку довільна алгебра Лі є напівпрямою сумою свого радикала, що є розв'язною алгеброю Лі і деякої напівпростої алгебри Лі. Тому класифікація алгебр Лі зводиться до класифікації напівпростих алгебр Лі і розв'язних алгебр Лі. Проте завдання класифікації скінченновимірних розв'язних алгебр Лі є набагато складнішим, ніж класифікація напівпростих алгебр.
Якщо ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subset {\mathfrak {g}}$ є розв'язними ідеалами, то таким є і ідеал ${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}$ .^[6]
Розв'язна алгебра Лі ${\mathfrak {g}}$ має єдиний найбільший нільпотентний ідеал ${\mathfrak {n}}$ , що є множиною елементів $X\in {\mathfrak {g}}$ для яких ${\rm {ad}}_{X}$ є нільпотентним відображенням. Розв'язна алгебра Лі розкладається на напівпряму суму цього ідеалу і деякої абелевої підалгебри. Якщо $D$ є диференціюванням на ${\mathfrak {g}}$ , то $D({\mathfrak {g}})\subset {\mathfrak {n}}$ .^[9]

Цілком розв'язні алгебри Лі

Алгебра Лі ${\mathfrak {g}}$ називається цілком розв'язною якщо для неї існує елементарна послідовність ідеалів у ${\mathfrak {g}}$ від $0$ до ${\mathfrak {g}}$ . Скінченновимірна нільпотентна алгебра Лі є цілком розв'язною і цілком розв'язна алгебра Лі є розв'язною. Над алгебраїчно замкнутим полем розв'язна алгебра Лі є цілком розв'язною, натомість, наприклад $3$ -вимірна дійсна алгебра Лі групи евклідових ізометрій площини є розв'язною але не цілком розв'язною. Ця алгебра є ізоморфною матричній алгебрі

$X=\left({\begin{matrix}0&\theta &x\\-\theta &0&y\\0&0&0\end{matrix}}\right),\quad \theta ,x,y\in \mathbb {R} .$

Розв'язна алгебра Лі ${\mathfrak {g}}$ над полем є цілком розв'язною тоді і тільки тоді коли всі власні значення ${\rm {ad}}_{X}$ належать $k$ для всіх $X$ в ${\mathfrak {g}}$ .^[8]

Див. також

Посилання

EoM article Lie algebra, solvable [Архівовано 28 жовтня 2011 у Wayback Machine.]
EoM article Lie group, solvable [Архівовано 28 жовтня 2011 у Wayback Machine.]

Примітки

↑ Humphreys, 1972
↑ Knapp, 2002 Proposition 1.39.
↑ Knapp, 2002 Proposition 1.23.
↑ Fulton та Harris, 1991
↑ Knapp, 2002 Proposition 1.46.
↑ ^а ^б Humphreys, 1972
↑ Knapp, 2002 Theorem 1.25.
↑ ^а ^б ^в ^г ^д Knapp, 2002
↑ Knapp, 2002 Proposition 1.40.

Література

Fulton, W.; Harris, J. (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics. Т. 129. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97527-6. MR 1153249.
Humphreys, James E. (1972). Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Graduate Texts in Mathematics. Т. 9. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90053-5.
Knapp, A. W. (2002). Lie groups beyond an introduction. Progress in Mathematics. Т. 120 (вид. 2nd). Boston·Basel·Berlin: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5..

[Humphreys_12-1] Humphreys, 1972

[2] Knapp, 2002 Proposition 1.39.

[3] Knapp, 2002 Proposition 1.23.

[Fulton_1-4] Fulton та Harris, 1991

[5] Knapp, 2002 Proposition 1.46.

[Humphreys_1-6] а ^б Humphreys, 1972

[7] Knapp, 2002 Theorem 1.25.

[Knapp_1-8] а ^б ^в ^г ^д Knapp, 2002

[9] Knapp, 2002 Proposition 1.40.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]