Піфагорова четвірка

Піфагорова четвірка — кортеж цілих чисел $(a,b,c,d)$ таких, що $a^{2}+b^{2}+c^{2}=d^{2}$, при цьому d > 0. Піфагорова четвірка $(a,b,c,d)$ визначає прямокутний паралелепіпед із довжинами сторін |a|, |b| та |c|, діагональ якого має довжину d. Піфагорові четвірки також називають піфагоровими блоками.

Параметризація простих четвірок

Множина простих піфагорових четвірок, тобто тих, для яких НСД(a,b,c) = 1, має параметризацію

$a=m^{2}+n^{2}-p^{2}-q^{2},$

$b=2(mq+np),$

$c=2(nq-mp),$

$d=m^{2}+n^{2}+p^{2}+q^{2},$

де m, n, p, q — натуральні цілі, НСД(m,n,p,q) = 1 і m + n + p + q ≡ 1 (mod 2). Таким чином, усі прості піфагорові четвірки описує тотожність Лебега

$(m^{2}+n^{2}+p^{2}+q^{2})^{2}=(2mq+2np)^{2}+(2nq-2mp)^{2}+(m^{2}+n^{2}-p^{2}-q^{2})^{2}.$

Альтернативна параметризація

Всі піфагорові четвірки (включно з непростими та з повтореннями) можна отримати з двох натуральних чисел a і b в такий спосіб: Якщо $a$ і $b$ мають різну парність, візьмемо будь-який множник p числа $a^{2}+b^{2}$ такий, що $p^{2}<a^{2}+b^{2}$. Тоді $c=(a^{2}+b^{2}-p^{2})/(2p)$ і $d=(a^{2}+b^{2}+p^{2})/(2p).$ Зауважимо, що $p={d-c}.$

Схожий метод існує для $a,b$ парних з додатковим обмеженням, що $2p$ має бути парним дільником числа $a^{2}+b^{2}.$ Такого методу немає для випадку, коли обидва числа a і b непарні.

Властивості

Найбільше число, яке завжди ділить добуток abcd, дорівнює 12. Четвірка з найменшим добутком — (1, 2, 2, 3).

Зв'язок з кватерніонами та раціональними ортогональними матрицями

Проста піфагорова четвірка $(a,b,c,d)$, параметризована за допомогою $(m,n,p,q)$, відповідає першому стовпцю матричного подання $E(\alpha )$ спряження $\alpha (\cdot ){\overline {\alpha }}$ за допомогою кватерніона Гурвіца $\alpha =m+ni+pj+qk$, звуженого до підпростору $\mathbb {H}$, натягнутого на $i,j,k$

$E(\alpha )={\begin{pmatrix}m^{2}+n^{2}-p^{2}-q^{2}&2np-2mq&2mp+2nq\\2mq+2np&m^{2}-n^{2}+p^{2}-q^{2}&2pq-2mn\\2nq-2mp&2mn+2pq&m^{2}-n^{2}-p^{2}+q^{2}\\\end{pmatrix}},$

де стовпці попарно ортогональні і кожен має норму d. Більш того, ${\frac {1}{d}}E(\alpha )$ $\in {\text{SO}}(3,\mathbb {Q} )$, і фактично всі 3 × 3 ортогональні матриці з раціональними коефіцієнтами з'являються в такий спосіб.

Піфагорові четвірки з нормою d<30

a	b	c	d
1	2	2	3
2	3	6	7
1	4	8	9
2	6	9	11
4	4	7	9
6	6	7	11
3	4	12	13
2	5	14	15
2	10	11	15
1	12	12	17
8	9	12	17
1	6	18	19
6	6	17	19
6	10	15	19
4	5	20	21
4	8	19	21
4	13	16	21
8	11	16	21
3	6	22	23
3	14	18	23
6	13	18	23
9	12	20	25
12	15	16	25
2	7	26	27
2	10	25	27
2	14	23	27
7	14	22	27
10	10	23	27
3	16	24	29
11	12	24	29
12	16	21	29

Кубічні піфагорові четвірки

Існує окремий тип кубічних піфагорових четвірок (англ. Pythagorean cubic quadruples), тобто таких наборів натуральних чисел $(a,b,c,d)$, які задовольняють рівняння:

$a^{3}+b^{3}+c^{3}=d^{3}$

Кубчні піфагорові четвірки можна згенерувати за допомогою спеціальних матриць. Кубічною піфагоровою четвіркою з найменшою нормою є: $a=3;b=4;c=5;d=6$. Іншими (але не єдиними) прикладами кубічних піфагорових четвірок є:

a	b	c	d
4	17	22	25
16	23	41	44
16	47	108	111
64	107	405	408
64	155	664	667

Див. також

• Числа Піфагора
• Теорема де Гуа
• Кватерніони і повороти простору
• Формула Ейлера — Родрігеса для обертання в тривимірному просторі
• Гіпотеза Ейлера
• Число таксі
• Задача про чотири куби
• Рівняння Якобі — Маддена

Посилання

• Weisstein, Eric W. Піфагорова четвірка(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Тотожність Лебега(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Carmichael. Diophantine Analysis у проєкті «Гутенберг»
• The complete parametrization derived using a Minkowskian Clifford Algebra