Регулярний розподіл

Регуля́рне сіме́йство розпо́ділів в математичній статистиці — це розподіл, густина якого диференційована відносно параметру.

Визначення

Нехай дано параметричне сімейство абсолютно неперервних розподілів $\{\mathbb {P} _{\theta }\}_{\theta \in \Theta }$ , де $\Theta \subset \mathbb {R}$ , так що $f(x\mid \theta )$ - густина ймовірності $\mathbb {P} _{\theta }$ для кожного $\theta \in \Theta$ . Тоді це сімейство називається регулярним, якщо існує така множина $D\subset \mathbb {R}$ , що $\mathbb {P} _{\theta }(D)=1,\quad \forall \theta \in \Theta$ , і

\forall x\in {D},\quad {\sqrt {f(x\mid \cdot )}}\in C^{1}(\Theta )

,

тобто ${\sqrt {f(x\mid \cdot )}}$ неперервно диференційована відносно параметра $\theta \in \Theta$ .

Приклади

Нехай $\Theta =\{\theta >0\}$ , і $\mathbb {P} _{\theta }=\mathrm {Exp} (\theta )$ - експоненційний розподіл з параметром $\theta$ . Тоді

{\frac {\partial }{\partial \theta }}{\sqrt {f(x\mid \theta )}}=\left({\frac {1}{2{\sqrt {\theta }}}}-{\frac {{\sqrt {\theta }}x}{2}}\right)e^{-\theta x/2}\in C(\Theta ).

Отже, сімейство розподілів регулярне.

Нехай $\Theta =\{\theta >0\}$ , і $\mathbb {P} _{\theta }=\mathrm {U} [0,\theta ]$ - неперервний рівномірний розподіл на відрізку $[0,\theta ]$ . Тоді легко бачити, що $D\supset [0,\infty )$ , і $f(x\mid \cdot )$ розривна у точці $\theta =x$ . Таким чином сімейство розподілів нерегулярне.