Ряди Ейзенштейна , названі на честь німецького математика Фердинанда Ейзенштейна — спеціальні прості приклади модулярних форм , що задаються як сума явно виписаного ряду. Спочатку визначені для модулярної групи , ряди Ейзенштейна можуть бути узагальнені в теорії автоморфних форм .
Ряд Ейзенштейна
G
2
k
{\displaystyle G_{2k}}
ваги
2
k
{\displaystyle 2k}
— функція, визначена на верхній комплексній півплощині
{
I
m
(
τ
)
>
0
}
⊂
C
{\displaystyle \{Im(\tau )>0\}\subset \mathbb {C} }
і задана як сума ряду
G
2
k
(
τ
)
=
∑
(
m
,
n
)
≠
(
0
,
0
)
1
(
m
+
n
τ
)
2
k
.
{\displaystyle G_{2k}(\tau )=\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{\frac {1}{(m+n\tau )^{2k}}}.}
Цей ряд абсолютно збігається до голоморфної функції змінної
τ
{\displaystyle \tau }
.
Дійсна частина G _6 як функція від q на одиничному крузі.
Уявна частина G _6 як функція від q на одиничному крузі.
Ряд Ейзенштейна задає модулярну форму ваги
2
k
{\displaystyle 2k}
: для будь-яких цілих
a
,
b
,
c
,
d
∈
Z
{\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {Z} }
з
a
d
−
b
c
=
1
{\displaystyle ad-bc=1}
маємо
G
2
k
(
a
τ
+
b
c
τ
+
d
)
=
(
c
τ
+
d
)
2
k
G
2
k
(
τ
)
.
{\displaystyle G_{2k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=(c\tau +d)^{2k}G_{2k}(\tau ).}
Це випливає з того, що ряд Ейзенштейна можна представити як функцію від породженої 1 і
τ
{\displaystyle \tau }
ґратки
Γ
=
⟨
1
,
τ
⟩
{\displaystyle \Gamma =\langle 1,\tau \rangle }
, продовживши його на весь простір ґраток:
G
2
k
(
Γ
)
=
∑
z
∈
Γ
∖
{
0
}
z
−
2
k
.
{\displaystyle G_{2k}(\Gamma )=\sum _{z\in \Gamma \setminus \{0\}}z^{-2k}.}
Тоді
G
2
k
(
λ
Γ
)
=
λ
−
2
k
G
2
k
(
Γ
)
.
{\displaystyle G_{2k}(\lambda \Gamma )=\lambda ^{-2k}G_{2k}(\Gamma ).}
Співвідношення модулярності тоді відповідає переходу від базису
{
τ
,
1
}
{\displaystyle \{\tau ,1\}}
до базису
{
a
τ
+
b
,
c
τ
+
d
}
{\displaystyle \{a\tau +b,c\tau +d\}}
тієї ж ґратки (що не змінює значення
G
2
k
(
Γ
)
{\displaystyle G_{2k}(\Gamma )}
) та нормуванню другого елементу нового базису на 1.
Більш того, як виявляється, будь-яка модулярна форма (довільної ваги
2
m
{\displaystyle 2m}
) виражається як многочлен від
G
4
{\displaystyle G_{4}}
і
G
6
{\displaystyle G_{6}}
:
f
=
∑
4
k
+
6
l
=
2
m
a
k
G
4
k
G
6
l
.
{\displaystyle f=\sum _{4k+6l=2m}a_{k}G_{4}^{k}G_{6}^{l}.}
℘
{\displaystyle \wp }
-функція Вейєрштрасса еліптичної кривої
E
=
C
/
Γ
{\displaystyle E=\mathbb {C} /\Gamma }
розкладається в ряд Лорана в нулі як
℘
E
(
z
)
=
1
z
2
+
∑
k
=
1
∞
(
2
k
+
1
)
G
2
k
+
2
(
Γ
)
z
2
k
.
{\displaystyle \wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }(2k+1)G_{2k+2}(\Gamma )z^{2k}.}
Зокрема, модулярні інваріанти кривої E рівні
g
2
=
60
G
4
,
g
3
=
140
G
6
.
{\displaystyle g_{2}=60G_{4},\quad g_{3}=140G_{6}.}
Будь-яку голоморфну модулярну форму для модулярної групи можна записати у вигляді многочлена від
G
4
{\displaystyle G_{4}}
і
G
6
{\displaystyle G_{6}}
. Зокрема,
G
2
k
{\displaystyle G_{2k}}
вищих порядків можна записати через рекурентне співвідношення, яке залежить від
G
4
{\displaystyle G_{4}}
і
G
6
{\displaystyle G_{6}}
. Нехай
d
k
=
(
2
k
+
3
)
k
!
G
2
k
+
4
{\displaystyle d_{k}=(2k+3)k!G_{2k+4}}
. Тоді
d
k
{\displaystyle d_{k}}
задовільняють співвідношення
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
d
k
d
n
−
k
=
2
n
+
9
3
n
+
6
d
n
+
2
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}d_{k}d_{n-k}={\frac {2n+9}{3n+6}}d_{n+2}}
для всіх
n
≥
0
{\displaystyle n\geq 0}
. Тут
(
n
k
)
{\displaystyle {n \choose k}}
— біноміальний коефіцієнт і
d
0
=
3
G
4
{\displaystyle d_{0}=3G_{4}}
і
d
1
=
5
G
6
{\displaystyle d_{1}=5G_{6}}
.
Вираз
d
k
{\displaystyle d_{k}}
трапляється в розкладі в околі нуля функції Вейєрштрасса :
℘
(
z
)
=
1
z
2
+
z
2
∑
k
=
0
∞
d
k
z
2
k
k
!
=
1
z
2
+
∑
k
=
1
∞
(
2
k
+
1
)
G
2
k
+
2
z
2
k
{\displaystyle \wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+z^{2}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {d_{k}z^{2k}}{k!}}={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }(2k+1)G_{2k+2}z^{2k}}
G_4
G_6
G_8
G_10
G_12
G_14
Означимо
q
=
e
2
π
i
τ
{\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}
. (Деякі старі книжки визначають q як ном
q
=
e
i
π
τ
{\displaystyle q=e^{i\pi \tau }}
, але зараз в теорії чисел прийнято стандарт
q
=
e
2
π
i
τ
{\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}
.) Тоді розклад коефіцієнтів рядів Ейзенштейна в Ряди Фур'є має вигляд
G
2
k
(
τ
)
=
2
ζ
(
2
k
)
(
1
+
c
2
k
∑
n
=
1
∞
σ
2
k
−
1
(
n
)
q
n
)
{\displaystyle G_{2k}(\tau )=2\zeta (2k)\left(1+c_{2k}\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{2k-1}(n)q^{n}\right)}
де коефіцієнти Фур'є
c
2
k
{\displaystyle c_{2k}}
задані як
c
2
k
=
(
2
π
i
)
2
k
(
2
k
−
1
)
!
ζ
(
2
k
)
=
−
4
k
B
2
k
=
2
ζ
(
1
−
2
k
)
{\displaystyle c_{2k}={\frac {(2\pi i)^{2k}}{(2k-1)!\zeta (2k)}}={\frac {-4k}{B_{2k}}}={\frac {2}{\zeta (1-2k)}}}
.
Тут B n — числа Бернуллі , ζ(z ) — дзета-функція Рімана і σp (n ) — сума дільників , сума p степенів дільників числа n . Зокрема, маємо
G
4
(
τ
)
=
π
4
45
[
1
+
240
∑
n
=
1
∞
σ
3
(
n
)
q
n
]
{\displaystyle G_{4}(\tau )={\frac {\pi ^{4}}{45}}\left[1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{n}\right]}
and
G
6
(
τ
)
=
2
π
6
945
[
1
−
504
∑
n
=
1
∞
σ
5
(
n
)
q
n
]
{\displaystyle G_{6}(\tau )={\frac {2\pi ^{6}}{945}}\left[1-504\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{5}(n)q^{n}\right]}
Зверніть увагу, що сума q може бути записана у формі вигляді рядів Ламберта ; тобто, маємо
∑
n
=
1
∞
q
n
σ
a
(
n
)
=
∑
n
=
1
∞
n
a
q
n
1
−
q
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{a}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{a}q^{n}}{1-q^{n}}}}
для довільного комплексного |q | ≤ 1 і a . Працюючи з q-розкладом рядів Ейзенштейна, часто вводяться альтернативні позначення
E
2
k
(
τ
)
=
G
2
k
(
τ
)
2
ζ
(
2
k
)
=
1
+
2
ζ
(
1
−
2
k
)
∑
n
=
1
∞
n
2
k
−
1
q
n
1
−
q
n
{\displaystyle E_{2k}(\tau )={\frac {G_{2k}(\tau )}{2\zeta (2k)}}=1+{\frac {2}{\zeta (1-2k)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2k-1}q^{n}}{1-q^{n}}}}
.
Ряди Ейзенштейна утворюють найбільш явні приклади модулярних форм для повної модулярної групи
S
L
2
(
Z
)
.
{\displaystyle SL_{2}(\mathbb {Z} ).}
Оскільки простір модулярних форм ваги
2
k
{\displaystyle 2k}
має розмірність 1 для
2
k
=
4
,
6
,
8
,
10
,
14
{\displaystyle 2k=4,6,8,10,14}
різних добутків рядів Ейзенштейна з цими вагами повинні бути пропорційні. Таким чином, ми отримаємо тотожності:
E
4
2
=
E
8
,
E
4
E
6
=
E
10
E
4
E
10
=
E
14
,
E
6
E
8
=
E
14
.
{\displaystyle E_{4}^{2}=E_{8},\quad E_{4}E_{6}=E_{10}\quad E_{4}E_{10}=E_{14},\quad E_{6}E_{8}=E_{14}.}
Використовуючи q -розклади рядів Ейзенштейна, наведені вище, вони можуть бути переформулювані як тотожності, пов'язані з сумами степенів дільників:
(
1
+
240
∑
n
=
1
∞
σ
3
(
n
)
q
n
)
2
=
1
+
480
∑
n
=
1
∞
σ
7
(
n
)
q
n
,
{\displaystyle (1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{n})^{2}=1+480\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{7}(n)q^{n},}
отже
σ
7
(
n
)
=
σ
3
(
n
)
+
120
∑
m
=
1
n
−
1
σ
3
(
m
)
σ
3
(
n
−
m
)
,
{\displaystyle \sigma _{7}(n)=\sigma _{3}(n)+120\sum _{m=1}^{n-1}\sigma _{3}(m)\sigma _{3}(n-m),}
і аналогічно для інших. Можливо, навіть більш цікаво, тета-функція з восьмивимірної парної унімодулярної ґратки Γ є модулярною формою ваги 4 для повної модулярної групи, що дає такі тотожності:
θ
Γ
(
τ
)
=
1
+
∑
n
=
1
∞
r
Γ
(
2
n
)
q
n
=
E
4
(
τ
)
,
r
Γ
(
n
)
=
240
σ
3
(
n
)
{\displaystyle \theta _{\Gamma }(\tau )=1+\sum _{n=1}^{\infty }r_{\Gamma }(2n)q^{n}=E_{4}(\tau ),\quad r_{\Gamma }(n)=240\sigma _{3}(n)}
для числа
r
Γ
(
n
)
{\displaystyle r_{\Gamma }(n)}
векторів квадратної довжини 2n у кореневій ґратці типу E8 .
А. Вейль, Эллиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру , (Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1976), пер.с англ. Ю. И. Манина, М.: «Мир», 1978:
Серр Ж.-П., Курс арифметики. М.: Мир, 1972.