Ряди Ейзенштейна

Ряди Ейзенштейна, названі на честь німецького математика Фердинанда Ейзенштейна — спеціальні прості приклади модулярних форм, що задаються як сума явно виписаного ряду. Спочатку визначені для модулярної групи, ряди Ейзенштейна можуть бути узагальнені в теорії автоморфних форм.

Означення

Ряд Ейзенштейна $G_{2k}$ ваги $2k$ — функція, визначена на верхній комплексній півплощині $\{Im(\tau )>0\}\subset \mathbb {C}$ і задана як сума ряду

$G_{2k}(\tau )=\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{\frac {1}{(m+n\tau )^{2k}}}.$

Цей ряд абсолютно збігається до голоморфної функції змінної $\tau$.

Властивості

Модулярність

Дійсна частина G_6 як функція від q на одиничному крузі.

Уявна частина G_6 як функція від q на одиничному крузі.

Ряд Ейзенштейна задає модулярну форму ваги $2k$: для будь-яких цілих $a,b,c,d\in \mathbb {Z}$ з $ad-bc=1$ маємо

$G_{2k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=(c\tau +d)^{2k}G_{2k}(\tau ).$

Це випливає з того, що ряд Ейзенштейна можна представити як функцію від породженої 1 і $\tau$ ґратки $\Gamma =\langle 1,\tau \rangle$, продовживши його на весь простір ґраток:

$G_{2k}(\Gamma )=\sum _{z\in \Gamma \setminus \{0\}}z^{-2k}.$

Тоді $G_{2k}(\lambda \Gamma )=\lambda ^{-2k}G_{2k}(\Gamma ).$ Співвідношення модулярності тоді відповідає переходу від базису $\{\tau ,1\}$ до базису $\{a\tau +b,c\tau +d\}$ тієї ж ґратки (що не змінює значення $G_{2k}(\Gamma )$) та нормуванню другого елементу нового базису на 1.

Представлення модулярних форм

Більш того, як виявляється, будь-яка модулярна форма (довільної ваги $2m$) виражається як многочлен від $G_{4}$ і $G_{6}$:

$f=\sum _{4k+6l=2m}a_{k}G_{4}^{k}G_{6}^{l}.$

Зв'язок з еліптичними кривими

$\wp$-функція Вейєрштрасса еліптичної кривої $E=\mathbb {C} /\Gamma$ розкладається в ряд Лорана в нулі як

$\wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }(2k+1)G_{2k+2}(\Gamma )z^{2k}.$

Зокрема, модулярні інваріанти кривої E рівні

$g_{2}=60G_{4},\quad g_{3}=140G_{6}.$

Рекурентне співвідношення

Будь-яку голоморфну модулярну форму для модулярної групи можна записати у вигляді многочлена від $G_{4}$ і $G_{6}$. Зокрема, $G_{2k}$ вищих порядків можна записати через рекурентне співвідношення, яке залежить від $G_{4}$ і $G_{6}$. Нехай $d_{k}=(2k+3)k!G_{2k+4}$. Тоді $d_{k}$ задовільняють співвідношення

$\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}d_{k}d_{n-k}={\frac {2n+9}{3n+6}}d_{n+2}$

для всіх $n\geq 0$. Тут ${n \choose k}$ — біноміальний коефіцієнт і $d_{0}=3G_{4}$ і $d_{1}=5G_{6}$.

Вираз $d_{k}$ трапляється в розкладі в околі нуля функції Вейєрштрасса:

$\wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+z^{2}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {d_{k}z^{2k}}{k!}}={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }(2k+1)G_{2k+2}z^{2k}$

Ряди Фур'є

G_4

G_6

G_8

G_10

G_12

G_14

Означимо $q=e^{2\pi i\tau }$. (Деякі старі книжки визначають q як ном $q=e^{i\pi \tau }$, але зараз в теорії чисел прийнято стандарт $q=e^{2\pi i\tau }$.) Тоді розклад коефіцієнтів рядів Ейзенштейна в Ряди Фур'є має вигляд

$G_{2k}(\tau )=2\zeta (2k)\left(1+c_{2k}\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{2k-1}(n)q^{n}\right)$

де коефіцієнти Фур'є $c_{2k}$ задані як

$c_{2k}={\frac {(2\pi i)^{2k}}{(2k-1)!\zeta (2k)}}={\frac {-4k}{B_{2k}}}={\frac {2}{\zeta (1-2k)}}$.

Тут B_n — числа Бернуллі, ζ(z) — дзета-функція Рімана і σ_p(n) — сума дільників, сума p степенів дільників числа n. Зокрема, маємо

$G_{4}(\tau )={\frac {\pi ^{4}}{45}}\left[1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{n}\right]$

and

$G_{6}(\tau )={\frac {2\pi ^{6}}{945}}\left[1-504\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{5}(n)q^{n}\right]$

Зверніть увагу, що сума q може бути записана у формі вигляді рядів Ламберта; тобто, маємо

$\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{a}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{a}q^{n}}{1-q^{n}}}$

для довільного комплексного |q| ≤ 1 і a. Працюючи з q-розкладом рядів Ейзенштейна, часто вводяться альтернативні позначення

$E_{2k}(\tau )={\frac {G_{2k}(\tau )}{2\zeta (2k)}}=1+{\frac {2}{\zeta (1-2k)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2k-1}q^{n}}{1-q^{n}}}$.

Тотожності з рядами Ейзенштейна

Добутки рядів Ейзенштейна

Ряди Ейзенштейна утворюють найбільш явні приклади модулярних форм для повної модулярної групи $SL_{2}(\mathbb {Z} ).$ Оскільки простір модулярних форм ваги $2k$ має розмірність 1 для $2k=4,6,8,10,14$ різних добутків рядів Ейзенштейна з цими вагами повинні бути пропорційні. Таким чином, ми отримаємо тотожності:

$E_{4}^{2}=E_{8},\quad E_{4}E_{6}=E_{10}\quad E_{4}E_{10}=E_{14},\quad E_{6}E_{8}=E_{14}.$

Використовуючи q-розклади рядів Ейзенштейна, наведені вище, вони можуть бути переформулювані як тотожності, пов'язані з сумами степенів дільників:

$(1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{n})^{2}=1+480\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{7}(n)q^{n},$

отже

$\sigma _{7}(n)=\sigma _{3}(n)+120\sum _{m=1}^{n-1}\sigma _{3}(m)\sigma _{3}(n-m),$

і аналогічно для інших. Можливо, навіть більш цікаво, тета-функція з восьмивимірної парної унімодулярної ґратки Γ є модулярною формою ваги 4 для повної модулярної групи, що дає такі тотожності:

$\theta _{\Gamma }(\tau )=1+\sum _{n=1}^{\infty }r_{\Gamma }(2n)q^{n}=E_{4}(\tau ),\quad r_{\Gamma }(n)=240\sigma _{3}(n)$

для числа $r_{\Gamma }(n)$ векторів квадратної довжини 2n у кореневій ґратці типу E₈.

Література

• А. Вейль, Эллиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру, (Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1976), пер.с англ. Ю. И. Манина, М.: «Мир», 1978:
• Серр Ж.-П., Курс арифметики. М.: Мир, 1972.