Модулярна форма

Модулярна форма — голоморфна функція визначена на верхній комплексній півплощині (тобто множині $\mathbb {H} =\{x+iy\;|y>0;x,y\in \mathbb {R} \}$), що є інваріантною щодо перетворень модулярної групи чи деякої її підгрупи і задовольняє умові голоморфності в параболічних точках. Модулярні форми і модулярні функції широко використовуються в теорії чисел, а також в алгебраїчній топології і теорії струн.

Визначення

Допоміжні визначення

Нехай $\gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in SL_{2}(\mathbf {Z} )$ — квадратна матриця порядку 2 з цілочисельними елементами і визначником рівним одиниці. Для деякого $z\in \mathbb {H}$ визначимо функцію $\gamma z=\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)$. Також позначимо:

$\Gamma (N)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in SL_{2}(\mathbf {Z} ):a\equiv 1,b\equiv 0,c\equiv 0,d\equiv 1,{\pmod {N}}\right\}.$

Дані групи називаються головними конгруентними підгрупами рівня N. Також використовується позначення $\Gamma (1)=SL_{2}(\mathbf {Z} )$. Довільна група $\Gamma :\Gamma (N)\subseteq \Gamma \subseteq \Gamma (1)$ називається конгруентною. Нехай $\gamma \in \Gamma$ — деякий елемент конгруентної групи. Якщо $\operatorname {Tr} (\gamma )=\pm 2$ (де $\operatorname {Tr} (\cdot )$ — слід матриці) то цей елемент називається параболічним, а відповідне перетворення параболічним. Точка $s\in \mathbb {R} \cup {\infty }$ називається параболічною, якщо існує параболічний елемент $\gamma \in \Gamma ,\,\gamma \neq {I,-I}$, такий що $\gamma s=s\,$.

Модулярна форма

Нехай $\Gamma$ — деяка конгруентна група. Функція f визначена на $\mathbb {H}$ називається модулярною формою степеня (ваги) k для групи $\Gamma$, якщо виконуються умови:

1. $f(\gamma z)=(cz+d)^{k}f(z),\,\forall \gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma$;
2. $f(z)$ — голоморфна в $\mathbb {H}$;
3. $f(z)$ голоморфна в параболічних точках групи $\Gamma$.

Модулярна функція

Нехай $\Gamma$ — деяка конгруентна група. Функція f визначена на $\mathbb {H}$ називається модулярною функцією для групи $\Gamma$, якщо виконуються умови:

1. $f(z)$ є інваріантною щодо дії групи $\Gamma$, тобто $f(\gamma z)=f(z),\,\forall \gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma$;
2. $f(z)$ — мероморфна в $\mathbb {H}$;
3. $f(z)$ — мероморфна в параболічних точках групи $\Gamma$.

Випадок групи $\Gamma (1)$

Модулярна група $\Gamma (1)/\{I,-I\}\,$ породжується двома матрицями $T=\ \left({\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}}\right)\,$ і $S=\left({\begin{array}{cc}0&1\\-1&0\end{array}}\right)$. Тож для перевірки виконання перших умов визначень модулярних функцій і форм достатньо перевірити виконання умов $\ f(z)=f(z+1)$ і $\ f(-1/z)=z^{k}f(z)$. Параболічними точками даної групи є точки $\mathbb {Q} \cup \{\infty \}$ і всі вони є еквівалентними, тобто $\forall a,b\in \mathbb {Q} \cup {\infty }$ існує такий $\gamma \in \Gamma (1)$, що $\gamma a=b$. Тож достатньо перевірити голоморфність чи мероморфність лише в одній з цих точок. Найзручніше для цього взяти $\{\infty \}$. Завдяки властивості $\ f(z)=f(z+1)$ функція f(z) може бути записана через ряд Фур'є через $q=\exp(2\pi iz)$.

Оскільки $\exp$ на всій комплексній площині не рівний нулю то також $q\neq 0$ але, $\exp(w)\to 0$ коли $w\to -\infty$ (по від'ємній дійсній осі), отже $q\to 0$ коли $2\pi iz\to -\infty$, тобто коли $z\to i\infty$ (по додатній уявній осі).

Функція є мероморфною в безмежності якщо:

$f(z)=\sum _{n=-m}^{\infty }c_{n}\exp(2\pi inz)=\sum _{n=-m}^{\infty }c_{n}q^{n}.$

на всьому відкритому одиничному крузі. Коефіцієнти $c_{n}$ — коефіцієнти Фур'є функції $f$, Якщо $c_{n}=0$ при $n<0$ на всьому відкритому одиничному крузі то функція є голоморфною в безмежності.

Пояснення

Для $\Gamma =\Gamma (1)$ модулярну форму можна також означити, як однорідну голоморфну функцію F на множині ґраток в $\mathbb {C}$. Тут ґратка - це підгрупа $\Lambda \cong \mathbb {Z} ^{2}$ в $(\mathbb {C} ,+)$, породжена двома числами $\omega _{1}$, $\omega _{2}$, які утворюють базу $\mathbb {C}$ над $\mathbb {R}$. Однорідність F означає, що існує ціле $k\geq 0$, таке, що $F(\lambda \Lambda )=\lambda ^{-k}F(\Lambda )$ для всіх $\lambda \in \mathbb {C} ^{\times }$ і всіх ґраток $\Lambda$. Досить обмежитись парною вагою k, інакше $F\equiv 0$. За допомогою гомотетії $\lambda \cdot -$ можна зробити, щоб $\omega _{2}=1$, а $\omega _{1}\in \mathbb {H} =\{\tau \in \mathbb {C} \mid \mathrm {Im} \tau >0\}$ було параметром ґратки. Функція $f:\mathbb {H} \to \mathbb {C}$, $f(\tau )=F(\mathbb {Z} .\tau +\mathbb {Z} .1)$ має автоморфну властивість, еквівалентну однорідності F. Голоморфність F означає голоморфність f і поліноміальну обмеженість росту f поблизу межі $\mathbb {H}$. З обмеженості випливає, що $f(x+iy)=O(1)$ при $y\to \infty$ і $f(x+iy)=O(y^{-k})$ при $y\to 0$.

Загальний випадок

Якщо $\Gamma$ — деяка підгрупа зі скінченним індексом групи $\Gamma (1)$, то множина параболічних точок теж рівна $\mathbb {Q} \cup \{\infty \}$, але в цьому випадку вони можуть не бути еквівалентними, тож умови голоморфності і мероморфності слід перевіряти окремо для кожного класу еквівалентності. Для точки $\{\infty \}$ стабілізатор породжується деякою матрицею $T^{M}=\left({\begin{array}{cc}1&M\\0&1\end{array}}\right)\,$. Оскільки f(z) інваріантна відносно $T^{M}$, то $\ f(z)=f(z+M)$. Тому якщо визначити $q=\exp \left({\frac {2\pi iz}{M}}\right)$ то можна дати ознаки мероморфності і голоморфності подібні до попередніх.

функція є мероморфною в безмежності якщо:

$f(z)=\sum _{n=-m}^{\infty }c_{n}q^{n}.$

на всьому відкритому одиничному крузі. Коефіцієнти $c_{n}$ — коефіцієнти Фур'є функції $f$, Якщо $c_{n}=0$ при $n<0$ на всьому відкритому одиничному крузі то функція є голоморфною в безмежності.

Якщо точка $\tau \in \mathbb {Q}$ не є еквівалентна безмежності в групі $\Gamma$, тоді можна знайти такий $\gamma \in \Gamma (1)$, що $\tau =\gamma (\infty )$. Тоді функція $F(z)=f(\gamma z)$ є інваріантною щодо групи $\gamma \Gamma \gamma ^{-1}\subset \Gamma (1)$. Тоді $f(z)$ буде голоморфною (мероморфною) в точці $\tau \in \mathbb {Q}$, якщо $F(z)$ буде голоморфною (мероморфною) в безмежності.

Для $\Gamma =\Gamma (N)$ говоримо про модулярні форми рівня N. Модулярні форми ваги k і рівня $\Gamma$ утворюють скінченновимірний простір $M_{k}(\Gamma )$ (нульовий при $k<0$) і градуйована алгебра $M_{*}(\Gamma )=\oplus _{k\geq 0}M_{k}(\Gamma )$ скінченнопороджена над $\mathbb {C}$. Наприклад, $M_{k}(\Gamma (1))=0$ для непарних k, а для парних k $\dim \,M_{k}(\Gamma (1))=[k/12]$ при $k\equiv 2{\pmod {12}}$ і $\dim \,M_{k}(\Gamma (1))=[k/12]+1$ інакше. Більш загально, якщо $\Gamma$ - дискретна підгрупа $\mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )$, і $\Gamma \backslash \mathbb {H}$ має скінченний гіперболічний об'єм V (стосовно 2-форми $y^{-2}dx\,dy$), то $\dim \,M_{k}(\Gamma )\leq kV/(4\pi )+1$ для всіх $k\geq 0$. Зокрема, для підгрупи, що містить -1, $\Gamma \subset \Gamma (1)$, скінченного індексу r, $\dim \,M_{k}(\Gamma )\leq [kr/12]+1$.

Приклади

• Одними з найпростіших прикладів модулярних форм є ряди Ейзенштейна ваги $k$, що визначаються для парного $k>2$:

$G_{k}(\tau )={\frac {1}{2}}\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\backslash (0,0)}{\frac {1}{(m+n\tau )^{k}}}.$

де $\tau \in \mathbb {H}$.

• Нехай

$g_{2}=60\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m+n\tau )^{-4},\qquad g_{3}=140\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m+n\tau )^{-6}$ — модулярні інваріанти, $\Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}$ — модулярний дискримінант.

Визначимо також:

$j(\tau )=1728{g_{2}^{3} \over \Delta }$ — основний модулярний інваріант (j-інваріант).

Виконуються рівності:

$g_{2}(\tau +1)=g_{2}(\tau ),\;g_{2}(-\tau ^{-1})=\tau ^{4}g_{2}(\tau )$

$\Delta (\tau +1)=\Delta (\tau ),\;\Delta (-\tau ^{-1})=\tau ^{12}\Delta (\tau )$

Також дані функції задовольняють відповідні властивості голоморфності. Тобто $g_{2}$ — модулярна форма ваги 4, $\Delta$ — модулярна форма ваги 12. Відповідно $g_{2}^{3}$ — модулярна форма ваги 12, а $j(z)$ — модулярна функція. Дані функції мають важливе застосування в теорії еліптичних функцій і еліптичних кривих.

Пояснення

При дії групи $\mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )$ з вагою $k>0$ на голоморфних функціях $\mathbb {H} \to \mathbb {C}$, $f\mapsto f|_{k}\gamma$, $\gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )$,

$(f|_{k}\gamma )(\tau )=(c\tau +d)^{-k}f\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right),$

стабілізатор точки 1 (постійної функції) при парному k - це матриці з $c=0$, $a=d=\pm 1$. При дії $\Gamma (1)=\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )$ цей стабілізатор є $\Gamma _{\infty }=\{\pm {\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}}\mid n\in \mathbb {Z} \}$. Множина класів суміжності $\Gamma _{\infty }\backslash \Gamma (1)$ перебуває в бієкції з $\{(c,d)\in \mathbb {Z} ^{2}\mid$нсд$(c,d)=1\}/(\pm 1)$. Ряд Айзенштайна

$E_{k}(\tau )=\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma (1)}1|_{k}\gamma ={\frac {1}{2}}\sum _{c,d\in \mathbb {Z} }^{(c,d)=1}{\frac {1}{(c\tau +d)^{k}}}$

абсолютно збігається при $k>2$ і є нерухомою точкою дії $\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )$, тобто модулярною формою ваги k рівня 1. Комутативне кільце $M_{*}(\Gamma (1))=\mathbb {C} [E_{4},E_{6}]$.

Безпосередньо однорідну функцію від ґратки можна написати як $G_{k}(\Lambda )=(1/2)\sum _{\lambda \in \Lambda \backslash 0}\lambda ^{-k}$, $k>2$. Звуження її на ґратки $\Lambda =\mathbb {Z} .\tau +\mathbb {Z} .1$, $\tau \in \mathbb {H}$, дає модулярну форму ваги k рівня 1

$G_{k}(\tau )={\frac {1}{2}}\sum _{m,n\in \mathbb {Z} }^{(m,n)\neq (0,0)}{\frac {1}{(m\tau +n)^{k}}},$

втім, $G_{k}(\tau )=\zeta (k)E_{k}(\tau )$. Використовуючи ще одну нормалізацію $\mathbb {G} _{k}(\tau )=(k-1)!(2\pi i)^{-k}G_{k}(\tau )$, знаходимо розвинення її в ряд Фур'є від $q=e^{2\pi i\tau }$: $\mathbb {G} _{k}(\tau )=-B_{k}/(2k)+\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{k-1}(n)q^{n}$, де $B_{k}$ — число Бернуллі і $\sigma _{k-1}(n)=\sum _{d|n}d^{k-1}$.

Квадратичні форми

Нехай $\theta (\tau )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }\exp(\pi in^{2}\tau )$ — тета-функція Якобі, $\tau \in \mathbb {H}$. Тоді $\theta ^{2}$ — модулярна форма ваги 1 рівня 4. З одновимірності певного простору модулярних форм випливає, що число представлень цілого $n>0$ як суми квадратів двох цілих чисел є $4\sum _{d|n,\,d>0}^{(d,2)=1}(-1)^{(d-1)/2}$. З того, що $\theta ^{4}$ - модулярна форма ваги 2 рівня 4 виводиться: число представлень цілого $n>0$ як суми квадратів чотирьох цілих чисел є $8\sum _{d|n,\,d>0}^{d\not \equiv 0{\pmod {4}}}d$. Узагальнюючи, розглянемо додатно визначену квадратичну форму $Q:\mathbb {Z} ^{m}\to \mathbb {Z}$, $Q(x)=x^{t}Ax/2$, де $A\in \mathrm {Mat} (m,\mathbb {Z} )$ - симетрична додатно визначена матриця з парними діагональними елементами. З нею асоціюється тета-ряд

$\Theta _{Q}(\tau )=\sum _{x_{1},\dots ,x_{m}\in \mathbb {Z} }q^{Q(x_{1},\dots ,x_{m})}=\sum _{n=0}^{\infty }R_{Q}(n)q^{n},$

де $q=e^{2\pi i\tau }$ і $R_{Q}(n)=\#\{x\in \mathbb {Z} ^{m}\mid Q(x)=n\}$. Нехай N — найменше додатне ціле, таке, що $NA^{-1}\in \mathrm {Mat} (m,\mathbb {Z} )$ має парні діагональні елементи. Тоді для $m=2k$, $k\in \mathbb {Z} _{>0}$, функція $\Theta _{Q}$ є модулярною формою ваги k рівня N. Зокрема, для $\det A=1$, $\Theta _{Q}$ є модулярною формою ваги k рівня 1. Наприклад, це вірно для ґратки $E_{8}$ ($m=8$) або ґратки Лича ($m=24$).

Оператори Геке

На просторі модулярних форм ваги k рівня 1 діє оператор Геке $T_{m}$, $m\geq 1$. Він переводить однорідну функцію F степеня -k від ґратки $\Lambda \subset \mathbb {C}$ в суму $T_{m}F(\Lambda )=m^{k-1}\sum F(\Lambda ')$, де $\Lambda '\subset \Lambda$ пробігає підґратки індексу m. Константа нормалізації вибрана так, щоби ряди з цілими коефіцієнтами Фур'є переходили в такі ж. Скінченна множина ґраток $\Lambda '\subset \Lambda$ індексу m ототожнюється з множиною $\Gamma (1)\backslash {\mathcal {M}}_{m}$, де ${\mathcal {M}}_{m}\subset \mathrm {Mat} (2,\mathbb {Z} )$ - множина матриць $\gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ з визначником m. Тому

$T_{m}f(\tau )=m^{k-1}\sum _{\gamma \in \Gamma (1)\backslash {\mathcal {M}}_{m}}(c\tau +d)^{-k}f\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right).$

За представників класів суміжності можна обрати цілочисельні матриці ${\begin{pmatrix}a&b\\0&d\end{pmatrix}}$ з $ad=m$, $0\leq b<d$. Тому

$T_{m}f(\tau )=m^{k-1}\sum _{ad=m}^{d>0}d^{-k}\sum _{b{\pmod {d}}}f((a\tau +b)/d).$

Всі оператори $T_{m}$ комутують і є нормальними відносно скалярного добутку Петерсона, тож $M_{k}(\Gamma (1))$ має базу спільних власних векторів (Геке). Ці вектори f можна нормалізувати умовою $a_{1}=1$ для $f=\sum _{n\geq 0}a_{n}q^{n}$ і нормалізований власний базис є єдиним. Прикладами нормалізованих власних функцій слугують $\Delta$ і $\mathbb {G} _{k}$, $k\geq 4$. З кожною модулярною формою $f=\sum _{n\geq 0}a_{n}q^{n}$ ваги k пов'язується ряд Діріхле $L(f,s)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}$. Якщо f - нормалізована власна функція Геке, то

$L(f,s)=\prod 1/(1-a_{p}p^{-s}+p^{k-1-2s}),$

де p пробігає прості числа. Для довільної модулярної форми f з $a_{0}=0$ ряд Діріхле продовжується до цілої функції від s і задовольняє функціональному рівнянню $L^{*}(f,k-s)=(-1)^{k/2}L^{*}(f,s)$, де $L^{*}(f,s)=(2\pi )^{-s}\Gamma (s)L(f,s)$ - теж ціла функція.

Застосування

З гіпотези Шимури — Таніями — Вейля, доведеної Вайлсом, Тейлором, Брейлем, Конрадом, Даймондом наприкінці двадцятого століття (кожна еліптична крива над $\mathbb {Q}$ може бути параметризована модулярними функціями) випливає (Рібет) велика теорема Ферма: для $n>2$ не існує додатних цілих a, b, c з $a^{n}+b^{n}=c^{n}$.

Посилання

• J. S. Milne, Modular functions and modular forms, курс лекцій.
• D. Zagier, Elliptic modular forms and their applications, The 1-2-3 of modular forms, Universitext, Springer, Berlin, 2008, pp. 1-103.

Література

• Сарнак П. Модулярные формы и их приложения, М: ФАЗИС, 1998. ISBN 5-70364029-4
• Tom M. Apostol, Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory (1990), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-97127-0
• Robert A. Rankin, Modular forms and functions, (1977) Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-21212-X
• D. Mumford, Tata lectures on theta. I, Progress in Mathematics, vol. 28, Birkhäuser Boston, MA, 1983.
• Ю.И. Манин, А.А. Панчишкин, Введение в современную теорию чисел, Москва, МЦНМО, 2009.
• Енциклопедія Сучасної України