Рівняння Дірака (графен)

Рівняння Дірака для графену — модельне диференціальне рівняння, що наближено описує спектр збуджень у графені поблизу особливих точок зони Бріллюена й має вигляд, схожий на рівняння Дірака. Аналогічно тому, як рівняння Дірака має наслідком запровадження поняття спіну, елементарні збудження в графені характеризуються квантовим числом, яке називають квазіспіном.

Зонна структура

Якщо врахувати тільки вклад найближчих сусідів у формування енергетичних зон, то гамільтоніан в наближенні сильного зв'язку для гексагональної ґратки приймає вигляд:

$H=-t\sum _{i\in \Lambda _{A}}\sum _{j=1}^{3}a^{\dagger }({\textbf {r}}_{i})b({\textbf {r}}_{i}+{\textbf {u}}_{j})-t\sum _{i\in \Lambda _{B}}\sum _{j=1}^{3}b^{\dagger }({\textbf {r}}_{i})a({\textbf {r}}_{i}+{\textbf {v}}_{j}),\qquad (1.1)$

де $t$ — інтеграл перекриття між хвильовими функціями найближчих сусідів, який визначає також ймовірність переходу («стрибка») між сусідніми атомами (атомами з різних підрешіток), оператори $a^{\dagger }({\textbf {r}}_{i})$ та $b^{\dagger }({\textbf {r}}_{i})$ оператори народження, які діють на трикутних підрешітках кристалу $\Lambda _{A}$ та $\Lambda _{B}$ відповідно, $a({\textbf {r}}_{i})$ та $b({\textbf {r}}_{i})$ — оператори знищення. Вони задовольняють звичайній антикомутаційним співвідношенням для ферміонів:

$[a({\textbf {r}}_{i}),a^{\dagger }({\textbf {r}}_{i^{'}})]_{+}=[b({\textbf {r}}_{i}),b^{\dagger }({\textbf {r}}_{i^{'}})]_{+}=\delta _{ii^{'}}.\qquad (1.2)$

Шість векторів ${\textbf {u}}_{i}$ та ${\textbf {v}}_{i}$ вказують на найближчі вузли від вибранного центрального атому і задаються відношеннями

${\textbf {u}}_{1}=(-d,0),\,{\textbf {u}}_{2}=\left({\frac {1}{2}}d,{\frac {\sqrt {3}}{2}}d\right),\,{\textbf {u}}_{3}=\left({\frac {1}{2}}d,-{\frac {\sqrt {3}}{2}}d\right),\qquad (1.3)$

${\textbf {v}}_{1}=(d,0),\,{\textbf {v}}_{2}=\left(-{\frac {1}{2}}d,-{\frac {\sqrt {3}}{2}}d\right),\,{\textbf {v}}_{3}=\left(-{\frac {1}{2}}d,{\frac {\sqrt {3}}{2}}d\right).\qquad (1.4)$

Перетворення Фур'є операторів народження та знищення

$a({\textbf {r}}_{i})=\int \limits _{BZ}{\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}e^{i{\textbf {k}}{\textbf {r}}_{i}}{\tilde {a}}({\textbf {k}}),b({\textbf {r}}_{i})=\int \limits _{BZ}{\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}e^{i{\textbf {k}}{\textbf {r}}_{i}}{\tilde {b}}({\textbf {k}}),\qquad (1.5)$

де інтегрирування по хвильовим векторам проводиться з першої зони Бріллюена, дозволяє записати гамільтоніан у вигляді

$H=\int \limits _{BZ}{\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}{\tilde {\psi }}^{\dagger }({\textbf {k}}){\tilde {H}}{\tilde {\psi }}({\textbf {k}}),\qquad (1.6)$

де прийняті такі позначення:

${\tilde {\psi }}({\textbf {k}})=\left({\tilde {a}}({\textbf {k}}),{\tilde {b}}({\textbf {k}})\right)^{T},\,{\tilde {\psi }}^{\dagger }({\textbf {k}})=\left({\tilde {a}}^{\dagger }({\textbf {k}}),{\tilde {b}}^{\dagger }({\textbf {k}})\right),\qquad (1.7)$

та

${\tilde {H}}=\left({\begin{array}{cc}0&-t\sum _{j=1}^{3}e^{i{\textbf {k}}{\textbf {u}}_{j}}\\-t\sum _{j=1}^{3}e^{i{\textbf {k}}{\textbf {v}}_{j}}&0\\\end{array}}\right).\qquad (1.8)$

Вираз (1.6) можна отримати якщо підставити (1.5) в (1.1). Розглянемо суму

$\sum _{i\in \Lambda _{A}}\sum _{j=1}^{3}a^{\dagger }({\textbf {r}}_{i})b({\textbf {r}}_{i}+{\textbf {u}}_{j}),\qquad (1.9)$

яку, використавши співвідношення (1.5) можна записати у вигляді

$\sum _{i\in \Lambda _{A}}\sum _{j=1}^{3}\int \limits _{BZ}{\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}e^{-i{\textbf {k}}{\textbf {r}}_{i}}{\tilde {a\dagger }}({\textbf {k}})\int \limits _{BZ}{\frac {d^{2}k^{'}}{(2\pi )^{2}}}e^{i{\textbf {k}}^{'}({\textbf {r}}_{i}+{\textbf {u}}_{j})}{\tilde {b}}({\textbf {k}}^{'}),\qquad (1.10)$

або

$\int \limits _{BZ}{\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}{\tilde {a\dagger }}({\textbf {k}})\int \limits _{BZ}{\frac {d^{2}k^{'}}{(2\pi )^{2}}}\sum _{i\in \Lambda _{A}}e^{-i{\textbf {k}}{\textbf {r}}_{i}+i{\textbf {k}}^{'}{\textbf {r}}_{i}}\sum _{j=1}^{3}e^{i{\textbf {k}}^{'}{\textbf {u}}_{j}}{\tilde {b}}({\textbf {k}}^{'}).\qquad (1.11)$

Використавши співвідношення

$\sum _{i\in \Lambda _{A}}e^{-i{\textbf {k}}{\textbf {r}}_{i}+i{\textbf {k}}^{'}{\textbf {r}}_{i}}=(2\pi )^{2}\delta \left({\textbf {k}}^{'}-{\textbf {k}}\right),\qquad (1.12)$

знаходимо після інтегрування за ${\textbf {k}}^{'}$ вираз

$\int \limits _{BZ}{\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}{\tilde {a\dagger }}({\textbf {k}})\sum _{j=1}^{3}e^{i{\textbf {k}}{\textbf {u}}_{j}}{\tilde {b}}({\textbf {k}}).\qquad (1.13)$

Аналогічне перетворення другої суми в гамільтоніані (1.1) приводить до бажаного результату (1.6).

Власне значення гамільтоніану (1.8) приймає значення

$E=\pm t{\sqrt {\sum _{j=1}^{3}e^{i{\textbf {k}}{\textbf {u}}_{j}}\sum _{j^{'}=1}^{3}e^{i{\textbf {k}}{\textbf {v}}_{j^{'}}}}}=\pm t{\sqrt {\left(e^{-ik_{x}d}+2e^{ik_{x}d/2}\cos {{\frac {\sqrt {3}}{2}}dk_{y}}\right)\left(e^{ik_{x}d}+2e^{-ik_{x}d/2}\cos {{\frac {\sqrt {3}}{2}}dk_{y}}\right)}}=$

$\pm t{\sqrt {\left(1+2e^{i3k_{x}d/2}\cos {{\frac {\sqrt {3}}{2}}dk_{y}}\right)\left(1+2e^{-i3k_{x}d/2}\cos {{\frac {\sqrt {3}}{2}}dk_{y}}\right)}}=\pm t{\sqrt {1+4\cos \left({\frac {\sqrt {3}}{2}}k_{y}d\right)\left[\cos \left({\frac {3}{2}}k_{x}d\right)+\cos \left({\frac {\sqrt {3}}{2}}k_{y}d\right)\right]}},\qquad (1.14)$

яке визначає зонну структуру графена.

Низькоенергетичне наближення

Зони (1.14) з додатною енергією (квазічастки — електрони) та з від'ємною енергією (квазічастки — дірки) перетинаються в шести точках, які називаються діраківськими точками, оскільки поблизу них енергетичний спектр приймає «лінійну» залежність від хвильового вектора. Координати цих точок рівні

$\left(0,{\frac {4\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\right),\,\left(0,-{\frac {4\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\right),\,\left({\frac {2\pi }{3d}},{\frac {2\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\right),\,\left({\frac {2\pi }{3d}},-{\frac {2\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\right),\,\left(-{\frac {2\pi }{3d}},{\frac {2\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\right),\,\left(-{\frac {2\pi }{3d}},{\frac {-2\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\right).\qquad (2.1)$

Дві незалежні долини можна вибрати так, що вершини валентних зон будуть знаходитися в діраковських точах з координатами

${\textbf {K}}^{\pm }=\left(0,\pm {\frac {4\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\right).\qquad (2.2)$

Розглянемо недіагональний елемент ^{${\tilde {H}}_{12}$} оператора Гамільтона (1.8). Разкладемо його поблизу точок Дірака (2.2) по малому параметру d

$\lim _{d\rightarrow 0}d^{-1}{\tilde {H}}_{12}|_{{\textbf {k}}={\textbf {K}}^{\pm }+{\boldsymbol {\kappa }}}=-t\lim _{d\rightarrow 0}d^{-1}\left(e^{-i\kappa _{x}d}+2e^{i\kappa _{x}d/2}\cos {\frac {{\sqrt {3}}d}{2}}\left(\pm {\frac {4\pi }{3{\sqrt {3}}d}}+\kappa _{y}\right)\right)={\frac {3t}{2}}(i\kappa _{x}\pm \kappa _{y}).\qquad (2.3)$

Для ^{${\tilde {H}}_{21}$} розклад обчислюється аналогічним чином, тому в результаті можна записати гамільтоніан для квазічасток поблизу точок Дірака у вигляді

$\left({\begin{array}{cc}H^{+}&0\\0&H^{-}\\\end{array}}\right)=\hbar v_{F}(\alpha ^{1}\kappa _{x}+\alpha ^{2}\kappa _{y}),\qquad (2.4)$

де швидкість Фермі $v_{F}=3td\hbar ^{-1}/2$ та

$\alpha ^{1}=-\left({\begin{array}{cc}\sigma ^{2}&0\\0&\sigma ^{2}\\\end{array}}\right),\,\alpha ^{2}=\left({\begin{array}{cc}\sigma ^{1}&0\\0&-\sigma ^{1}\\\end{array}}\right).\qquad (2.5)$

Тут ^{$\sigma ^{1}$} та ^{$\sigma ^{2}$} — матриці Паулі.

Якщо тепер перейти до координатного представлення, зробивши фур'є перетворення гамільтоніану (2.4), то приходимо до гамільтоніану в рівнянні Дірака для квазічасток в графені

$H=-i\hbar v_{F}(\alpha ^{1}\partial _{x}+\alpha ^{2}\partial _{y}).\qquad (2.6)$

Розв'язком рівняння Дірака для графену $H\psi =E\psi$ буде чотирьохкомпонентний стовбчик вигляду

$\psi =(\psi _{A}^{+},\psi _{B}^{+},\psi _{A}^{-},\psi _{B}^{-})^{T},\qquad (2.7)$

де індекси ^$A$ та ^$B$ відповідають двом підрешіткам кристалу, а знаки «+» та «-» позначають нееквівалентні точки Дірака в k-просторі.

Довільне повертання системи координат

Оскільки закон дисперсії не повинен залежати в низькоенергетичному наближенні від орієнтації кристаличної решітки відносно системи координат, а рівняння Дірака для графена не має такої властивості, то виникає питання про загальний вигляд рівняння Дірака при повертанні системи координат. Ясно, що єдина відмінність між рівняннями Дірака в заданій системі координат та поверненій на кут $\alpha$ системі координат, при умові збереження закону дисперсії, полягає в добавлянні фазових факторів. Обчислення приводять до гамильтоніану для вільних часток вигляду

$H_{\pm }=-i\hbar v\left({\begin{array}{cc}0&e^{\pm i\alpha }(i\partial _{x}\pm \partial _{y})\\e^{\mp i\alpha }(-i\partial _{x}\pm \partial _{y})&0\\\end{array}}\right),\qquad (3.1)$

з якого можна отримати всі рівняння, котрі використовуються в літературі (при умові вибору протилежних K точок).

В літературі зустрічається гамильтоніан у вигляді

$H_{\pm }=-i\hbar v\left({\begin{array}{cc}0&\pm \partial _{x}-i\partial _{y}\\\pm \partial _{x}+i\partial _{y}&0\\\end{array}}\right),\qquad (3.2)$

який знаходиться з (3.1), коли кут повороту $\alpha =-\pi /2$.

Розв'язок рівняння Дірака

Розглянемо оператор Гамільтона для однієї долини

$H_{+}=-i\hbar v{\begin{pmatrix}0&i{\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\\-i{\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial y}}&0\end{pmatrix}}.\qquad (4.1)$

Хвильова функція може буди подана у вигляді спінора, який складається з двох компонентів

$\Psi ={\begin{pmatrix}\phi \\\chi \end{pmatrix}}.\qquad (4.2)$

Ця функція задовольняє наступному рівнянню для вільних часток

$\left\{{\begin{matrix}-i\hbar v\left(i{\frac {\partial \chi }{\partial x}}+{\frac {\partial \chi }{\partial y}}\right)=E\phi &\\-i\hbar v\left(-i{\frac {\partial \phi }{\partial x}}+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}\right)=E\chi &\end{matrix}}\right.\qquad (4.3)$

Підставляючи друге рівняння в перше, знаходимо хвильове рівняння

${\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}=-{\frac {E^{2}}{\hbar ^{2}v^{2}}}\phi ,\qquad (4.4)$

розв"язком якого буде плоска хвиля

$\phi ={\frac {1}{\sqrt {2}}}e^{ik_{x}x+ik_{y}y}.\qquad (4.5)$

Власні значення мають вигляд лінійного неперервного спектру

$E=\pm \hbar vk_{F}=\pm \hbar v{\sqrt {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}}.\qquad (4.6)$

Другу компоненту хвильової функції легко знайти підставивши знайдений розв'язок в друге рівняння (4.3)

$\chi =-i{\frac {\hbar v\left(k_{x}+ik_{y}\right)}{E}}{\frac {1}{\sqrt {2}}}e^{ik_{x}x+ik_{y}y}=-ie^{i\theta }{\frac {\hbar vk_{F}}{E}}{\frac {1}{\sqrt {2}}}e^{ik_{x}x+ik_{y}y}.\qquad (4.7)$

Таким чином, хвильова функція для $K^{+}$ долини запишеться у вигляді

$\Psi ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-ie^{i\theta }{\frac {\hbar vk_{F}}{E}}\end{pmatrix}}e^{ik_{x}x+ik_{y}y}.\qquad (4.8)$